ユークリッドの平行線公準の最もよく知られている形は、名前をスコットランドの数学者ジョン・プレイフェアに由来するプレイフェアの公理(英語版)であろう。これは次のようなものである。
平行線公準とプレイフェアの公理は一般的に同値というわけではない。幾何学の中には、この二つのうち、片方が真でもう片方が偽となるものがあるからである。しかし、ユークリッド幾何学の他の4つの公準と二つのうちの片方を使えばもう片方を証明することができるため、絶対幾何学(英語版)においてはこの二つは同値である[2]。
ギリシャの哲学者プロクロス は、ユークリッド原論に関する解説書を著し、4公準から第5公準を導こうとした試みについて解説を行い、特にクラウディオス・プトレマイオスが間違った証明を行なっていることに言及している。その上で、プロクロスは続けて自らも間違った証明を与えている。しかし、第5公準と同値の命題を発見している。
ジョルダーノ・ヴィターレ(英語版) (1633-1711) は自身の著書Euclide restituo(1680年、1686年)の中で、クリストファー・クラヴィウスが与えた平行線公準の証明は、ある直線と等距離にある曲線はそれ自体が直線であるという前提に依存していると指摘した。そこで、サッケーリの四角形において、上辺CD上に3つの点をとり、底辺ABに下ろした垂線がすべて同じ長さであれば、ABとCDは等距離であるということを示した。これは過去600年間の中で、平行線公準に対する理解が真に進んだ初の成果である[15][16]。
イタリアのイエズス会の牧師ジョヴァンニ・ジェローラモ・サッケーリ (1667-1733) は第5公準の否定から矛盾を導き出そうと試みた。彼は、サッケーリの四角形において平行線公準を用いずに角Cと角Dが直角であれば、4公準から平行線公準を導くことができると考えた。角Cと角Dが同じ角度であると証明することは容易であったが、それが直角であることを証明することは困難であった。そこでサッケーリは背理法を用い、角Cと角Dが直角でない場合を考え、矛盾を導き出そうと試みた。鈍角の場合、直線は有限であるという結論を得たので、これはユークリッドの第2公準に反するとして、サッケーリはこの可能性については排除した。しかし現在、第2公準と第5公準を否定した幾何学としては例えば楕円幾何学が知られている。鋭角の場合についてサッケーリは有効な反論をすることができず、「鋭角の仮定は絶対に間違っている、なぜならそれは直線の性質に矛盾しているからだ」という表現に留めている[14]。
ハイヤームやサッケーリが平行線公準を証明するために鋭角仮定や鈍角仮定といった別の可能性が誤りであるということを証明しようと試みたのに対し、19世紀に数学者たちはこれら別の可能性をむしろ発展させ、最終的に論理的に矛盾のない幾何学を発見した。1829年、ニコライ・ロバチェフスキーは無名のロシアの学術誌に鋭角仮定下の幾何学に関する記事を掲載する(1840年にまとめ直したものがドイツで出版されている)。1831年、ボーヤイ・ヤーノシュは彼の父ボーヤイ・ファルカシュの本の付録にて、やはり鋭角仮定下の幾何学を説明した。ボーヤイがロバチェフスキーと独立に理論を発展させたことには疑いがない。カール・フリードリヒ・ガウスも同様の問題を研究しており、1822年には手紙の中で非ユークリッド幾何学について言及しているものの、結果を公表しなかった。ガウスは友人であったファルカシュから息子ヤーノシュの結果について手紙で意見を求められた際、こう返答している。
「もし私がこの業績を称賛するわけにはいかないという言葉で始めれば、あなたは一瞬驚くことでしょう。しかし、そう言わざるをえないのです。これを称賛することは、私自身を称賛することになるのです。実際のところ、あなたのご子息がたどった道、導いた結論、全ての研究は、ここ30年から35年もの間、私の頭の中の一部分を占めていた考えとほぼ完全に一致するのです」[19]
結果として得られた幾何学はニコライ・ロバチェフスキー、ベルンハルト・リーマン、そしてアンリ・ポアンカレによって双曲幾何学(鋭角の場合)と楕円幾何学(鈍角の場合)へと発展していった。平行線公準とユークリッドの他の公準が論理的に独立(英語版)であることは、最終的には1868年、ユージニオ・ベルトラミ(英語版)によって示された。