大まかにいうと、収入を得ているのに、ハローワークに申告しないと失業保険の不正受給となります。
しかし、収入があれば何でもかんでも不正受給扱いというわけではありません。
会社が経営不振に陥ったことを理由に退職したなどの場合、退職後に給与が振り込まれてくる場合があります。
この給与自体は失業中にもらったものではありますが、働いたのは当然退職前ですから、受け取ったとしてもハローワークに申告する必要はありません。
この手の収入が入っても、別に労働をした対価としてもらっている訳ではありませんから、これも失業保険の不正受給には該当しません。
実際は、賃貸不動産を運営していくのはかなりの手間がかかりますが、あくまで収入を生み出している主体は不動産という考えです。
なお、ここでいう「申告不要」は、あくまでハローワークに申告しなくても不正受給にならない、という意味です。
税金の申告が不要という意味ではありませんので注意してください。