結局、内部にセッションを保ちたい場合には、その要素がwebclientに実装がされてない場合には自分で実装をしなくてはいけないようです。
上記で、キャッシュをオンしたのですが、やはり通じなかったです。
とこの問題に直面している人が少なかったのは、きっとwebViewでtwitterにいくなんて事はしないで、twitterクライアントを選ばせて実行する方がandroidでポピュラーなのかなぁと思いました。