しかし、Ajaxでカテゴリー名で絞り込み検索をすると、表示されます。
どのようにしたら各記事のカテゴリー名が表示されるでしょうか?ご指摘いただければと思います。
「DB」と書かれていますが,データベースではなくテーブルですよね?
おそらくですが、DBに保存されたblogデータの中にblogcategory_idが空のもの、もしくは正しいblogcategory_idを持たないものが入っている気がします。