例えば、JSTで設定されているOSの場合は、timeZoneNameで取得できる文字列はJSTになります。
もし、APIの戻り値で年月日を別々に保持している場合でもDateTime.utcでインスタンスできます。
そして現在の端末のtimezoneで表示したい場合は メソッドを呼び出し、DateFormatを使ってフォーマットします。
UTCで保持しているAPIにPOSTしたい場合は、普通に の結果をAPI仕様に合わせてフォーマットすれば良いでしょう。
ちなみに日本語設定した時に、Androidではja_JPが取得できましたが、iosでは、常にen_USが返ってきました。