>復路のチケットが必要な国かどうかをどうやって調べればいいのか。
復路のチケット云々よりも先に、まずビザが必要かどうかを確認しないといけません。それを調べるには、訪問国の大使館の公式サイトを見ます。「目的国名 大使館」で検索すればすぐに見つかるはずです。
公式サイト以外でも旅行会社のサイトや個人サイト等でビザ情報が書かれていることがありますが、いずれも最新情報とは限らないので参考程度です。
たとえばタイの場合、在京タイ王国大使館公式サイトにビザが必要かどうかについての説明ページがあり、「例えば、片道の航空券しかお持ちでない方、観光目的以外の方、観光目的でも30日以上滞在を希望される方はビザが必要です。」と記載されています(復路のチケットが必要であることが読み取れます)。
公式サイトに記載されていない場合は電話・メールするなりして確認する必要があります。
>インターネットで購入できるならそのサイトの紹介もお願いします。
航空券の発券地、航空券の種類、利用航空会社等によって利用すべきサイトはそれぞれ異なります。
通常の航空券は発券地がベースになっているので、格安航空券は発券地(出発地)の旅行会社でしか扱っていません。従って、出発地にある旅行会社をその都度調べて探すしかありません。
格安航空会社(LCC)の場合はネット販売が基本なので、フライトのあるどの路線でもネットで購入できますが、クレジットカードが必須です。LCCは各国・地域に無数にありますから、これも必要に応じて調べて探すしかありません。