ペットの世話をする代わりに通常よりも多くの相続を受けられるため、これを拒否した場合は、その分の相続は受けられません。負担付遺贈であった場合(要は家族以外の方が指名されていた場合)は遺贈を受けることができません。
負担付相続や遺贈は、確実に負担部分を執行しているかどうかを担保するため、遺言執行人をつける方が望ましいでしょう。
詳しくはペット関連の相談を受け付けている専門家に相談することをお勧めします。