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Terminale option math expertes
Le théorème du reste
- Le théorème du reste
- Déterminer le reste d'une division de polynômes à l'aide du théorème du reste
- Vérifier si un polynôme est divisible par un binôme du premier degré à l'aide du théorème du reste
- Déterminer les coefficients d'un polynôme sachant qu'il est divisible par un binôme donné
- Le théorème du reste
- Démonstration du théorème du reste
Le reste de la division de -3x³- 4x²+ 10 x - 7 par x - 2.
Transcription de la vidéo
alors j'ai ce polynôme la paix 2 x égal à - 3 x au cube ou un 4 x o car est plus 10x -7 et dans cette vidéo ce qu'on va faire c'est essayer de déterminer le reste de la division dopés par un autre polynôme alors par exemple le polynôme x - 2 donc on va essayer de déterminer le reste le reste de la division la division de paix par x - 2x moins deux alors il ya plusieurs façons de répondre à cette question la première ça serait de prendre le polynôme paix et de effectivement faire la division paris xe - de la division de paix par x men 2 de la pause et comme tu sais le faire si tu sais pas le faire il faut que tu retournes voir les vidéos sur la division 2 2 polynôme mais bon c'est ainsi qu'à celles ont assez compliqué et là il existe une autre manière de faire qui est d'utiliser le théorème du reste d'autres on va parler déjà dans une des vidéos précédentes voilà alors je te laisse réfléchir un petit peu là dessus mais la vidéo sur pause essayent de déterminer le reste de cette division alors maintenant on supposant que tu essayais de ton côté on va le faire et on va le faire en utilisant le théorème du reste donc qu'est ce que dit ce théorème bien il dit que quand on prend un polynôme par exemple p 2 x là je pense polynôme ci mais ça pourrait être n'importe quel autre polynôme et qu on le divise par le polynôme x - à x - a ou à être un nombre réel n'importe lequel et bien en fait le reste de cette division le reste de cette division et bien c'est tout simplement le polynôme paix le polynôme peut calculer au point a donc cp2 à je l'écris comme ça p de a voilà donc pour trouver le reste de la division de paix par x moisa il suffit d'évaluer paix au point i que ces gars-là a donc de calculer la valeur de pda alors ici notre à ceux à labé en fait c'est le 2 qui est là donc ici on sait qu'on a à égal tourner dans le cas où à est égal à 2 donc pour calculer le reste le reste de la division de ce polynôme paix par x - 2 le reste eh bien ça serait ça sera égale ap 2 2 p 2,2 alors je vais calculé p22 du coup c'est moins 3 - 3 x 2 occupe 2 occupe ça fait 8 donc on a ici moins 3 fois 8 - 4 x 2 au carré de carhaix ça fait 4 + 10 x 2 - 7 là j'ai tout simplement remplacé x par deux dans cette expression dans l'expression de paix voilà je vais continuer les calculs mois 3 x 8 ça fait moins 24 - 4 x 4 ça fait moins 16 + 10 x 2 ça fait vingt plus 20 et puis -7 qui est là voilà alors la ligne du dessous - 24 - seize mois 24 - si ça fait moins 30 - 10 ça fait moins 40 donc ça là ça fait moins 40 + 20 ça fait moins 20 moins sept ça fait moins vingt sept donc finalement le reste de la division de ce polynôme paix par x moins deux biens c'est moins 27 alors tu vois là on l'a calculé assez facilement en faisant très peu de calcul et c'est assez intéressant de comparer avec le nombre de calculs et la complexité des calculs qu'on aurait dû faire si on avait posé la division on aurait en fait on aurait dû écrire quelque chose comme ça donc ici le polynôme p 2 x / le polynôme x - 2 on aurait trouvé ici un quotient un quotient plus de x alors effectivement on aurait déterminé un quotient ce qu'on ne fait pas ici par la méthode du théorème du reste quand on utilise le théorème du reste mais dans ce qui nous cause mais pour ce qui nous concerne ici on n'a pas besoin d'avoir déterminé ce quotient donc c'est une information dont on n'a pas besoin ici et puis en fait donc on aurait fait tous les calculs voilà les aurait multiplié on aurait en fait multiplier q2 x par x - deux faits les soustractions et puis on se serait arrêtée au moment où on obtient on aurait obtenu le reste le reste ici alors le reste je te rappelle comment savoir qu'on est arrivé au reste et bien il faut avoir ici obtenu un polynôme 2 degrés inférieures à ceux polynôme si ici on a un polynôme 2° 1 donc il faut avoir un polynôme de degré zéro c'est à dire en fait une constante et donc normalement en faisant tous ces calculs tu aurais obtenu que tu dois trouver - 27 qui est le reste de la division de paix par x - 2 voilà alors tu vois que cette cette méthode là aura été beaucoup plus longue plus compliqué puisqu'il y aurait eu plus de calculs elle aurait aussi pris beaucoup plus d espace sur l'écran voilà donc c'est quand même très utile de se rappeler de ce théorème du reste quand on doit uniquement calculé le reste de la division honda polynôme par paulino de ce genre x - hazard