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Algèbre II
Forme factorisée d'une fonction du second degré
- Résoudre une équation produit
- Résoudre une équation produit
- Tracer la parabole représentative d'une fonction du second degré donnée sous forme factorisée
- Exercices-type : Tracer la parabole représentative d'une fonction du second degré donnée sous forme factorisée
- Tracer la parabole représentative d'une fonction du second degré donnée sous forme factorisée
- Problèmes concrets mettant en jeu une fonction du second degré sous forme factorisée
- Problèmes concrets mettant en jeu une fonction du second degré sous forme factorisée
Quels que soient a et b, ab = 0 équivaut à a = 0 ou b = 0. Donc (x + 2)(x - 5) = 0 équivaut à x + 2 = 0 ou x - 5 = 0. On en déduit que les solutions de l'équation (x + 2)(x - 5) = 0 sont 2 et 5.
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- qui peut m'aider a résoudre cette équation avec les justifications montrée :
5x²-3+(2x-1)(2x-1)=0
merci pour votre aide .(3 votes) - Comment passer de l'hypothèse du zéro au nombre en fraction? Je ne comprend pas la procédure d'ajouter 1 aux deux membres puis ajouter 2 aux deux membres...(2 votes)
- Bonjour Chiyamada8,
Il faudrait que tu revoies un cours sur les équations du premier degré.
J’aime beaucoup comment les équations sont expliquées dans la vidéo ci-dessous. En fait c’est comme une balance a l’équilibre. Pour trouver la valeur de x il faut l’isoler d’un côté de la balance.
Pour ça tu peux ajouter/retirer du poids de chaque côté, en faisant bien attention de retirer la même chose de chaque côté ou l’équilibre n’existe plus !
Même chose pour les multiplications et divisions, ça doit se faire des deux côtés.
Vidéo : https://fr.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-basic-eq-ineq/alg-solving-equations/v/why-we-do-the-same-thing-to-both-sides-simple-equations?modal=1
Est-ce que c’est plus clair maintenant ?(3 votes)
Transcription de la vidéo
alors je te propose de déterminer cette équation là je vais te donner une équation qui est celle ci 2x moins un facteur 2 x + 4 égal à zéro donc mais la vidéo sur pause et essayer de voir si tu peux arriver à trouver les valeurs de x qui vont vérifier cette cette équation alors ici la clé c'est de remarquer que ce qu'on a ici de ce côté là du signe égal à gauche du cygne égales eh bien c'est un produit c'est une multiplication de deux nombres puisque ici cette partie là 2x moins 1 ça c'est un nombre et puis ici ce terme là x + 4 et bien ça c'est un nombre aussi donc finalement vraiment mon équation c'est un nombre x un nombre égal à zéro alors la clé ici c'est de bien comprendre que quand on a un produit de deux nombres pour que ce produit soit nul il faut que au moins un des deux nombre soit nul alors ça c'est très très important à comprendre c'est tellement important que je vais je vais l'écrire ici quand on a une produit comme ça à multiplier alors je vais mettre un point comme ça symbole de multiplication par un nombre un autre nombre b et bien pour que ce produit là soit égal à zéro il faut que a ou b soit égal à zéro ou alors aussi que a et b que a et b soit tous les deux égale à 0 soit égaux à zéro tous les deux voilà ça c'est vraiment très important et tu peux t'en rendre compte si par exemple à est égal à 7 et bien pour que à fois quelque chose soit égal à zéro il faut que b en fait soit égal à zéro lui même et à la verse 6b est égal à 10 est par exemple bien pour que le produit à x 17 sont égales à zéro il faut que ça soit égal à zéro évidemment si a et b sont égaux à zéro à x b va être égale à 0 soit 0 de zéro et au contraire si à est différente 0 et betty vérone 0 et bien le produit ne peut pas être égal à zéro si par exemple à est égale à 27 et b est égal à 30 2 bien 27 x 32 ça fait sûrement pas 0 alors ça c'est vraiment quelque chose de très important qui va être qu'on va utiliser très très fréquemment dans la résolution des équations voilà donc je te l'encadrent rappelle toi bien de ça et je t'engage a vraiment travaillé avec cette propriété là puisque tu peux faire des tas dc1 essaye de des tas de produits différents et tu verras bien que les seuls produits qui peuvent être nul c'est les produits ou un des deux termes nuls voilà alors maintenant comment est-ce qu'on peut utiliser cette propriété là ce qu'on vient de dire ici dans notre cas dans le cas de cette équation là qu'on recherche à résoudre bien en fait ce qu'on a dit tout à l'heure c'est que ici on a vraiment un produit de deux termes un jeu peut très bien dire que ce terme qui est ici 2x moins 1 et bien je vais l'appeler petit tas et puis ce deuxième terme ici x + 4 et bien c'est celui que je vais appeler b donc d'ailleurs j'aurais pu se réduit plutôt prendre cette couleur là pour le b qui est ici voilà c'est arrangé donc ici ce que j'essaie vraiment à x b est égal à zéro donc d'après ce qu'on vient de dire tout à l'heure pour que à foix bessou est égal à zéro il faut que ça soit égal à zéro ou b soit égal à zéro ou bien les deux a et b soit égaux à zéro tous les deux alors dire que a est égal à zéro bien ça revient à dire que 2x moins 1 doit être égale à zéro ça c'est à égal à zéro et ce que je peux avoir aussi c'est ou bien b égal à zéro mais égale à zéro donc x + 4 x + 4 égal à zéro et là je suis ramené à résoudre des équations 2° un ce que je sais faire 1 2x moins égal à zéro c'est une équation 2° un que je peux résoudre si tu te sens pas à l'aise avec les résolution d'équations degré 1 mais il faut vraiment que tu ailles regarder les vidéos là dessus sur la khan academy il y en a beaucoup il faut que tu saches maîtriser ça évidemment en tout cas ce que je peux dire c'est que c'était quoi sur la 2 x - est égal à zéro et bien je peux la transformer en ajoutant un ou deux membres donc ça va me donner 2 x égal à 1 et ensuite je peux divisés par deux aux membres voilà et de cette manière là les deux ici vont se simplifier est ce que j'obtiens c'est la valeur de x qui est égal à 1,2 me x égale un demi ça c'est donc une solution de mon équation et puis j'ai une deuxième solution qui est donnée par cette équation la x + 4 hague à égal à zéro donc là je vais soustraire 4 aux deux membres donc aux membres de gauche obtient x + 4 - 4 c'est à dire x et puis aux membres de droite j'obtiens 0 - 4 c'est-à-dire moins 4 voilà donc finalement j'obtiens deux solutions x égale un demi ça c'est une première solution et puis une deuxième qui est x égal à moins 4 voilà donc fixé très propre tout ça puisque la ici on a un produit 2,2 terme donc il y a deux solutions de cette équation là si on avait un produit de 3 terme on aurait trois solutions est ce qu'on peut faire à ce stade là c'est vraiment vérifier que les valeurs qu'on a déterminés ici sont effectivement des solutions nous et pour faire cette vérification il suffit de remplacer x par ces valeurs là dans l'expression que j'ai ici à gauche du signe égal et je dois effectivement trouvé 0 alors on va le faire je vais commencer par vérifier que la valeur x égale un demi est une solution effectivement de l'équation est donc je vais réécrire ce cette expression là en remplaçant x par un demi donc le premier terme ces deux fois 1/2 2x moins 1 et puis le deuxième terme c'est x + 4 avec x égale un demi donc un demi +4 alors ici j'ai deux fois 1/2 deux fois un demi ça ça fait 1 donc finalement dans cette parenthèse g 1 - 1 c'est-à-dire 0 tout ça tout ça c'est égal à zéro donc finalement là j'ai même pas besoin de faire ce calcul la 1/2 +4 c'est pas très compliqué n'ont même pas besoin de le faire puisque 0 fois ce nombre là et bien ça c'est égal à zéro donc effectivement la valeur x égale 1/2 annuler cette expression là donc c'est bien une solution de mon équation alors on va faire le même travail avec x égal moins 4 donc je vais faire ici alors le premier terme c'est deux fois moins 4 - 1 ça c'est le premier terme que je vais x x + 4 qui devient moins 4 + 4 alors ici c'est encore plus rapide moins quatre bus 4 ça ça fait zéro c'est égal à 0.4 +4 donc quelle que soit la valeur d'une ombre qui est ici entre parenthèses que j'ai c'est un nombre x 0 et donc ça c'est encore une fois égal à zéro voilà alors rapidement on va faire un autre exercice de ce genre là et cette fois ci en fait qu'on va je vais te donner une fonction va prendre une fonction qui est défini comme ça f 2 x donc c'est une fonction d'une variable réel et son expression cf 2 x égale x - cinq facteurs de 5x plus 2 fdx égale x 5 x 5 x + 2 alors la question que je vais te poser ici c'est qu'elles sont les héros de cette fonction alors quand on cherche les héros d'une fonction en fait on cherche à déterminer pour quelle pour quelle valeur de x on a f 2 x égal 0 donc ça c'est la question que je pose alors le mieux c'est que tu y réfléchisse un peu de ton côté ensuite tu reviens et en france alors ici ce qu'on m'a c'est une équation f 2 x égal à zéro alors je vais la réécrire en remplaçant f par son expression donc j'ai en fait mon équation cx moins cinq facteurs de 5x plus de égal 0 voilà donc tu vois qu'on est ramenée à quelque chose de vraiment très très proche de ce qu'on a fait tout à l'heure les nombres impliqués ne sont pas les mêmes mais ce qu'on a c'est comme tout à l'heure un produit de deux termes ici j'ai un premier terme x - 5 et là j'ai un deuxième terme 5 x + 2 donc je cherche les valeurs qui vont annuler ce produit là alors d'après ce qu'on a écrit ici ce qu'on a utilisé tout à l'heure il ya deux solutions possibles la première solution possible c'est que ce premier terme soit annulée donc c'est une valeur qui va annuler ce premier terme ce qui veut dire que c'est une valeur de x qui va faire qui va être tels que x - 5 sera égal à zéro et donc ça j'imagine que tu vois assez vite que c'est vrai seulement 6 x est égal à 5 donc je tiens ici une première solution et j'en ai une deuxième donc je vais mettre où la deuxième solution c'est une valeur de x qui va annuler le deuxième terme 5x plus de donc c'est une valeur qui va être tels que 5 x + 2 sera égal à zéro alors ça on l'a résout de la même manière je vais soustraire deux des deux côtés j'obtiens d'abord que 5 x pas être égal à -2 et puis ensuite je vais / 5 aux deux membres du coup les cinq ici se simplifient et ce que j'obtiens cx égales - 2 5e - de 5e voilà là j'ai une deuxième solution voilà et là on a terminé on a déterminé les solution de cette équation là autrement dit on a déterminé les héros de la fonction f ça veut dire que si tu remplaces x par une de ces deux valeurs dans l'expression de f et bien tu vas trouver 0 effectivement tu vois que si tu remplaces x par cinq ce terme la wass annulé on va voir ici 5 - 5 donc f25 est égal à zéro et puis si tu remplaces x par - 2 5e et bien tu peux vérifier que c'est ce facteur là qui va s'annuler et du coup le produit va être nul aussi et donc on trouvera que f 2 - 2 5e est aussi égale à zéro