Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires
Ce chapitre est destiné à étudier des propriétés qui nous seront utiles pour calculer des limites faisant intervenir des fonctions trigonométriques. La propriété 1 de ce chapitre est souvent admise dans des cours similaires. Nous avons toutefois choisi de la déduire de lemmes qui nous semblent plus intuitifs à admettre que la propriété 1.
Considérations sur les arcs de cercleModifier
Nous avons tout d'abord le lemme suivant :
Nous admettrons ce lemme très intuitif, qui découle du fait bien connu que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre.
Nous retiendrons ensuite le lemme suivant :
Nous admettrons aussi ce lemme, difficile à démontrer bien qu'assez intuitif.
Continuité de la fonction sinusModifier
Nous montrerons la continuité de la fonction sinus grâce au lemme suivant :
Considérons un arc du cercle trigonométrique dont la mesure en radians est avec :
et soit , le symétrique de par rapport à l'axe des abscisses.
Si est négatif, on visualisera que les points et sont inversés sur la figure.Dans les deux cas de figure nous voyons que la longueur de l'arc est et la longueur du segment est .
D'après le lemme 1, la longueur de la corde est inférieure à la longueur de l'arc , ce qui nous donne, par symétrie :
soit, en simplifiant :
.
Considérons le cercle unité sur la figure suivante, où l'angle est compris entre et , et comparons deux aires présentes dans cette figure :
Le triangle rouge est contenu dans le secteur circulaire bleu donc :
- ,
ou encore (en multipliant les deux membres par le nombre ) :
- .
Montrons que la fonction sinus est continue en une valeur quelconque de son domaine de définition qui est .
De l'une des formules de Simpson :
- ,
on déduit, grâce au lemme 3 :
- ,
d'où il découle, d'après le théorème de l'encadrement (théorème des gendarmes) :
- ,
autrement dit :
- ,
ce qui montre que la fonction sinus est bien continue en .
Continuité de la fonction cosinusModifier
Nous invitons le lecteur, à titre d'entraînement, à faire une démonstration similaire à celle de la fonction sinus en utilisant une autre formule de Simpson :
- .
Quant à nous, nous nous contenterons de remarquer que :
- ,
qui nous montre que la continuité de la fonction cosinus découle directement, par composition de fonctions continues, de la continuité de la fonction sinus.
Continuité de la fonction tangenteModifier
Comme :
- ,
la fonction tangente est continue comme quotient de deux fonctions continues.
Propriétés sur les limitesModifier
La propriété 1 ci-dessous est assez fondamentale et permet d'établir un grand nombre de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques. Nous verrons en particulier que grâce à celle-ci, nous pourrons calculer la dérivée des fonctions sinus et cosinus.
Pour démontrer cette propriété, nous utiliserons le lemme 3 et le lemme suivant :
Nous supposons que est positif et invitons le lecteur à refaire l'étude en supposant négatif.
Reprenons la figure de la première preuve du lemme 3 — nous avions entre autres — et ajoutons-y la tangente en au cercle trigonométrique et , son point d'intersection avec l’axe des abscisses. Comme est un rayon du cercle trigonométrique, on a et donc :
- .
Par symétrie, on a également .
La réunion des segments et constitue un chemin extérieur au cercle trigonométrique reliant les points et . Par conséquent, la longueur de ce chemin est, d'après le lemme 2, supérieure à celle de l'arc . On a donc :
- ,
soit :
et nous obtenons :
- .
Reprenons la figure de la seconde preuve du lemme 3 et comparons maintenant les deux aires suivantes :
Le secteur circulaire bleu est contenu dans le triangle vert donc :
- ,
ou encore (en multipliant les deux membres par le nombre ) :
- .
Les lemmes 3 et 4 nous donnent deux inégalités qui peuvent se réunir en un encadrement :
- .
La fonction cosinus étant continue en , nous avons :
- .
Par conséquent, en faisant tendre vers dans les trois membres de , nous obtenons en utilisant le théorème de l'encadrement (théorème des gendarmes) :
- .
La propriété suivante se déduit de la propriété 1 mais est aussi importante pour faciliter l'établissement de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques.
Nous partirons de la formule de duplication :
- .
En posant , nous obtenons :
- ,
et donc :
- .
Posons .
- .
Si l’on fait tendre vers , alors tend aussi vers . Par conséquent, en utilisant la propriété 1, on a :
- .