Contenu principal
Équations différentielles
Propriété de la transformation de Laplace
- Laplace comme opérateur linéaire et Laplace des dérives
- Transformée de Laplace de cos t et polynômes
- Transformation "changeante" en multipliant une fonction par une exponentielle
- Transformation de Laplace de t: L{t}
- Transformation de Laplace de t^n : L{t^n}
- Transformée de Laplace de la fonction échelon unité
- Exemples de transformation inverse de Laplace
- La fonction delta de Dirac
- Transformée de Laplace de la fonction delta de dirac
Propriétés utiles de la transformation de Laplace. Créé par Sal Khan.
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Transcription de la vidéo
maintenant qu'on a saisi la mécanique de la transformation de la place on est prêt pour s'intéresser à quelques propriétés utile de la transformation de la place pour commencer je veux te montrer la linéarité de la transformer de la place la transformer de la place de ce qu'on appelle une somme pondérée de deux fonctions c'est à dire une constante c'est un pour une première fonction f de thé plus une autre constante ces deux fois une deuxième fonction j'ai de tct gala alors d'après la définition de la transformation de la place c'est égal à l'intégrale impropre de 0 à + l'infini l'exponentielle 2 - péter fois la fonction dont on cherche la transformer de la place donc ici cette somme pondérée et c'est un x f de thé plus ces deux fois g de thé et là j'imagine que tu vois déjà où je veux en arriver d'été on distribue exponentielle de - péter ça nous donne l'intégrale de 0 à + l'infini de c1 fois exponentielle de moins ptf de thé plus c'est deux fois exponentielle de - péter g de thé d'été d'après la propriété de linéarité de l'intégrale tu sais que l'intégrale d'une somme de fonction c'est la somme des intégrales de chaque fonction donc ici c1 et c2 sont des constantes donc on peut les sortir de l'intégrale on a donc c'est un poil intégrale de 0 à + l'infini de exponentielle de - péter fdt d'été plus ces deux fois l'intégrale de 0 à + l'infini de exponentielle de - péter g de thé d'été et qu'est-ce qu'on a là ça c'est la transformer de la place de f2 t et ça c'est la transformer de la place de g de thé donc ça a c'est égal alors je change couleur pour l'occasion c'est égal à c'est un poil à transformer de la place de sève de thé plus c'est deux fois la transformer de la place de g de thé et je viens juste de te montrer que la transformation de la place et linéaire ici on peut sortir les constantes et la transformer de la place d'une somme de fonctions qu'on avait ici c'est égal à la somme des transformé de la place de chacune de ces fonctions voilà c'est une propriété à s est utile et tu t'en doutes et peut-être mais maintenant tu en es sûr maintenant on passe à quelque chose que je considère plus intéressant et surtout c'est un indice sur pourquoi la transformation de la place et si utile pour résoudre les équations différentielles 10 leçons que je cherche la transformer de la place de f prime de thé j'ai une fonction fdt que je dérive et je veux la transformer de la place de ses dérivés et on va voir si on peut trouver un lien entre la transformer de la place de la dérive et d'une fonction et la transformer de la place de la fonction elle même on va avoir besoin de faire une intégration par partie donc peut-être que je peux commencer par noter la définition c'est encore frais pour moi puisque j'en ai parlé juste avant dans la vidéo précédente on va avancer à alès moi écrire à quoi c'est égal ça c'est égal à l'intégrale impropre de 0 à + l'infini de exponentielle de - péter fois la fonction f prime de thé d'été pour résoudre ça on va devoir intégrer par partie et si je me rappelle bien l'intégration par partie c'est l'intégrale de alors pour que ça ressemble à ça eh bien on va dire que c'est l'intégrale du x v prime qui est égal à au produit de ces deux fonctions une fois v - l'intégrale du contraire c'est à dire une prime v on veut obtenir quelque chose avec f2 t1 puisqu'on veut le lien entre cette transformé de la place et la transformer de la place de f2 tu es donc sans hésitation on va définir v prime comme f prime de thé est donc évidemment eu comme eux deux - pdt donc v c'est la primitive des primes de tf2 thé et une prime c'est moins p x exponentielle de - péter ce qui veut dire qu'on a ici l'intégrale une fois fait prime ça c'est u et ça c'est des primes maintenant on est prêt pour intégrer par partie est transformée de la place c'est égal à une fois vais donc eu exponentielle de moins tt x v fdt et bien sûr on doit calculer ça entre 0 et plus l'infini - l'intégrale de 0 à + l'infini 2e prix mme x v lors du prime c'est moin té fois exponentielle de - péter et v cfdt d'été alors ici on a moins par mois on transforme ça en plus ensuite paix est une constante on peut donc sortir sa de l'intégrale on a donc exponentielle de moins ptf de thé entre 0 et plus cela finit plus p fois l'intégrale de 0 à + l'infini de exponentielle de moins ttf de thé d'été et qu'est-ce qu'on a là ça assez la transformer de la place de f de ténès pas donc ça c'est égal à alors on va d'abord s'occuper de ce terme là quand tu es en verre plus l'infini exponentielle de - péter tend vers zéro mais qu'en est il pour eve de thé bien je ne sais pas on n'a pas d'informations sur f2 t donc quand tu es en verre plus l'infini f2 t pourrait tendre vers plus l'infini vers moins l'infini ou vers n'importe quel autre valeur comme ce terme dans vers zéro on n'est pas sûr de ce qu'il se passe pour ce terme fois f2 t6 eve de thé augmentent plus rapidement que exponentielle de - péter sera proche de zéro alors ce produit divergent je ne vais pas rentrer dans les détails mathématiques là dessus pour déterminer quand est-ce que c'est divergent et quand est ce que ca convergent donc on va juste dire que ce produit tend vers zéro aussi fdt augmentent moins rapidement que exponentielle de - péter temps vers zéro peut-être que plus tard je te proposerait une explication plus rigoureuse des conditions sous lesquelles se produit convergent mais pour l'instant on fait l'hypothèse que fdt augmentent moins rapidement que exponentielle de moins et et ne tend vers zéro et donc ce produit tant vers zéro ensuite on soustrait cette expression pour tes égal zéro exponentielle 2 0 c'est un poids f20 c'est juste f20 et on a dit que ça c'est la transformer de la place de f2 tu es donc on n'a plus payé fois la transformer de la place de f2 t et maintenant on a une propriété intéressante qu'elle était le membre de gauche de tout ce qu'on est en train de faire on avait la transformer de la place de f prime de thé alors je verrai écrire ça on sait maintenant que la transformer de la place de f prime de thé est égal à thé fois la transformer de la place de sève de thé - f 2 0 et 1 on peut aller plus loin quelle est la transformer de la place de f secondes de thé eh bien on n'a qu'à suivre la même idée c'est égal ap fois la transformer de la place d'une primitive puisque ici on a à transformer de la place d'une primitive de expriment de terrain donc la transformer de la place de f prime 2t - f stream 2 0 et ici on connaît la transformer de la place de f prime de thé c'est cette expression là donc si on remplace on a payé x p x la transformer de la place de f2 t - f20 - f prime 2 0 on simplifie on a payé au carré fois la transformer de la place de f2 t - t3f 2 0 - f prime 2 0 et ça a c'est la transformer de la place de f secondes 2 t et je pense que tu commences à comprendre pourquoi la transformation de la place est utile pour résoudre les équations différentielles ça transforme les dérivés en multiplication par p et tu verras plus tard que ça transforme l'intégration division par p tu peux prendre n'importe quelles dérives et et tu continues à x p avec la même structure qui si je te laisse essayer ça et je te retrouves dans la prochaine vidéo