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Algèbre
Ensemble de définition et ensemble image d'une fonction
- Les intervalles et leurs notations
- Qu'est-ce que l'ensemble de définition d'une fonction
- Qu'est-ce que l'ensemble image d'une fonction
- Ensemble de définition et ensemble image d'une fonction à partir de sa représentation graphique
- Ensemble de définition et ensemble image d'une fonction à partir de sa représentation graphique
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- Bonjour, en cours nous avons parlé d'un intervalle dépendant d'une constante réelle. c'est l'intervalle entre 1 et un lambda réel strictement positif, ainsi, l'intervalle peut s'écrire de deux manières selon si lambda est inférieur ou supérieur a 1... et nous avions vu une notation pour exprimer cela, masi je ne m'en souviens plus... pouvez vous m'aider ?merci !!(1 vote)
Transcription de la vidéo
bonjour alors dans cette vidéo on va essayer de se familiariser un petit peu avec la notion d'intervalle et en fait on va aussi regarder comment est-ce qu'on peut décrire ces intervalles alors là j'ai dessiné une droite numérique on va dire que c'est un ensemble de valeurs de la variable x par exemple donc c'est un ensemble des nombres réels qui est ici représentée sur une droite graduée est en fait je vais prendre un intervalle de valeur sur cette boîte graduée alors par exemple je vais prendre l'ensemble des valeurs comprises entre - 2 je vais dessiner ici entre - 2 et 3 par exemple voilà ça ce que j'ai reconnu en bleu c'est l'intervalle de valeur qui va m'intéresser pour l'instant et il est compris entre - 2 et 3 alors quand même il ya quelque chose à laquelle il faut faire attention c'est que autant le nombre 0 il ya aucun problème il est bien au milieu on va dire il est pire dans l'intervalle le point de aussi le point 1 aussi en fait par contre il ya des petits problèmes ce qu'on appelle les bornes d intervalle c'est-à-dire aux extrémités en fait un parce qu'en fait on n'est pas sûr de savoir là quand on dessine comme ça on n'est pas sûr de savoir si - 2 est compris dans cet intervalle est ce qu on le hait ce qu'on le compte ou bien est-ce qu'il faut pas le comté est-ce qu'il appartient à l'ensemble des valeurs que je viens de colorier ici ou pas et c'est exactement la même chose pour 3 alors là on va faire quelque chose on va supposer que ils sont compris dans l'intervalle donc je vais représenter ça comme ça avec des crochets voilà ça ça veut dire que le nombre - 2 est compris dans cet intervalle et puis je vais faire la même chose pour le nombre 3 voilà on va mettre des crochets comme ça là et là je lis un ensemble de valeurs compris entre - 2 et 3 et - 2 et 3 sont effectivement compris dans l'intervalle de valeur que je considère ici ça c'est ce qu'on appelle un intervalle fermé l'intervalle fermé voilà et c'est je pense que la notation avec des crochets comme ça refermer qui entourent l'intervalle on va dire bien sa part la séance à donna c'est l'idée d'un intervalle fermé comme ça alors une petite note ce que dans certains pays pour dire que les bornes sont comprises dans l'intervalle on fait un point donc là par exemple si je fais comme ça l'intervalle entre -5 et -3 que je dessine ici ça serait un intervalle fermer aussi puisque les points plein comme ça ça c'est la même chose que les crochets ça veut dire que les bornes sont comprises dans l'intervalle voilà ça je vais l'enlever alors maintenant comment est-ce qu'on peut représenter cet intervalle donc ici on a des valeurs de x de la variable x est en fait ce qu'on considère c'est tout les toutes les valeurs qui sont comprises entre nous qui sont plus grandes que moins 2 est plus petit que trois donc on peut écrire ça de cette manière là en fait je peux dire que ma variable xl va être plus grande que - beun nouvelle écrire comme sa plus grande que -2 et ici j'écris de cette manière là avec une inégalité l'argent donc c'est moins deux plus petits ou égal à x ça ça correspond au fait que x peut prendre la valeur - deux puisqu'on a un intervalle ferme et donc la valeur - 2 est comprise dans cet intervalle donc x peut être égal à -2 et puis de l'autre côté en fait on sait que x doit être plus petit que trois et là c'est pareil je vais mettre une illégalité large parce que x peut prendre la valeur trois ans la valeur 3 fait partie de l'intervalle voilà donc ça c'est une manière de représenter cet intervalle là c'est l'ensemble des valeurs x comprise entre - 2 et 3 au sens large donc ça avec des inégalités large alors il ya une autre manière que tu as sûrement dû déjà rencontré c'est tout simplement en fait c'est presque un copier de 7,2 ce dessin que j'ai fait ici en fait en représente ça comme ça - 2 avec un point virgule et 3 voilà ça c'est l'intervalle -2 3 donc ça c'est vraiment la notation qu'on utilise le plus fréquemment pour noter un intervalle ça c'est un intervalle fermer les crochets sont fermés et donc moins de appartient certes intervalles et 3 aussi alors souvent on utilise un langage un petit peu plus compliqué en mathématiques un peu plus formel un peu plus bizarres peut-être pour ses repas qui qui en fait va refléter la phrase qu'on dit par exemple ici quand quand je regarde ça je vais dire c'est l'ensemble des valeurs x tel que x est compris entre - 2 et 3 donc ça en fait en mathématiques on l'écrit comme ça c'est l'ensemble alors pour dire ensemble traditionnellement on utilise des des accolades comme ça et là je vais écrire c'est l'ensemble des nombreux x appartenant à air telles que x est compris et plus grand que moi deux plus petits que trois voilà ça c'est une notation c'est une manière de décrire cet intervalle fermé par une notation alors ici c'est un peu bizarre je sais pas si tu as déjà rencontré sa x appartient taher alors ce symbole là espèce de epsilon grecque ça ça veut dire appartient ça veut dire que dans x est un élément de se r ici et se r ici bien en fait c'est l'ensemble des nombreux réel donc c'est l'ensemble de tous les noms c'est une autre manière de dire que x est un nombre de cette droite numérique ici et puis cette barre un petit peu influent un petit peu penché ça veut dire tel que voilà donc là ça se lit comme ça on a l'ensemble des nombres x appartenant à l'ensemble des nombres réels tels que hic c'est qu'on paie plus grand que moins deux plus grands ou égal à -2 et plus petits ou égal à 3 voilà alors on peut faire exactement le même remarque avec cette 2e notation en fait on va décrire ça comme ça on va dire que c'est l'ensemble des nombreux x qui appartiennent au nombre réel à l'ensemble des nombres réel telles que x appartient à l'intervalle moins 2 3 ça c'est une autre manière de dire et donc voilà deux façons de faire mais bon je te rappelle la plus courante quand tu dois rapidement parler de cet intervalle là tu peux tout simplement écrire ça comme ça - 2/3 d'intervalle fermé - 2 3 alors on va continuer je vais te donner on va prendre un autre exemple de notre type d'intervalle donc je vais recopie une droite numérique voilà je vais la mettre ici et donc ça c'est toujours des variables des valeurs du nombre x que je vais représenter sur cette droite numérique et puis alors là cette fois ci je vais prendre un autre intervalles je prends disons-le intervalle compris entre -1 et 4 voilà par exemple celui là voilà et là par contre cette fois ci je ne vais pas considérer les je ne vais pas inclure dans cet intervalle les bornes donc je vais le nombre - 1 ne sera pas une valeur de cet intervalle et le nombre 4 non plus heures ça c'est important à bien comprendre parce que je vais je vais leur présenter comme ça hein avec des crochets qui sont vers l'extérieur de l'intervalle des deux côtés voilà ça c'est ce que j'appelle un intervalle enfin c'est pas moi qui la paix comme ça on l'appelle comme ça en mathématiques c'est un intervalle ouvert ouvert donc les les bornes ne sont pas comprises dans cet intervalle ça veut dire que par exemple le nombre 3,99 il appartient à l'intervalle de même que le nom de 3999 ou 3,9 1999 ou ainsi de suite mais le nombre quatre noms le nombre de 4 n'est pas compris dans cet intervalle et le nombre - un non plus alors comment est-ce qu'on peut représenter ça on va calquer un petit peu ce qu'on a fait tout à l'heure donc je vais monter un petit peu voilà alors ici quand je regarde j'ai en fait ce que j'ai coloriée en rose c'est l'ensemble des valeurs qui sont comprises entre -1 et 4 en ne comptant pas les bornes donc le compte pas moins un jeu compte pas 4 donc je vais pouvoir écrire ça comme ça c'est l'ensemble des nombreux réel donc l'ensemble des x appartenant à l'ensemble des nombreux réel grand père comme ça avec une double barre tels que x alors x qu'est ce qu'il a il est plus grand plus grand que -1 les plus grands qu'eux - et là c'est une inégalité strictes puisque x ne peut pas prendre la valeur - donc x est strictement supérieur à moins c'est ça la différence qui avec l'intervalle fermé comme a vu tout à l'heure et puis c'est pareil pour l'autre bornes x est plus petit que 4 et je prends là aussi une interne et qualité strictes puisque la valeur 4 n'est pas comprise dans cet intervalle donc x ne peut pas prendre la valeur 4 voilà ça c'est une manière de faire et puis on comme tout à l'heure on peut faire quelque chose de ce genre là donc c'est on va décrire ça comme ça c'est l'ensemble des nombreux réel donc des valeurs de x appartenant à l'ensemble air telles que x appartient à l'intervalle et je vais le noter comme ça à l'intervalle moins-14 avec des crochets ouvert vers l'extérieur et là je ferme l'accolade donc cette phrase-là se dit l'ensemble des valeurs de x appartenant à l'enim nombre réel telles que x et plus grands strictement que moins simples et plus petits strictement que quatre et là je lis c'est l'ensemble des valeurs de x réel telles que x appartient l'intervalle moins 1,4 voilà ça c'est les deux manières de faire et puis on peut aussi retenir quand même que cet intervalle là on le note aussi le plus souvent comme ça et je fais aussi une autre parenthèse parce que dans certains pays on n'utilise pas décroché ouvert comme ça vers l'extérieur on utilise des parenthèses donc on écrirait ça comme ça - 1 4 voilà moins 1,4 c l'intervalle ouvert des valeurs strictement supérieur à -1 et strictement inférieure à 4 donc c'est exactement la même la même chose voilà donc en tout cas quand tu vois des crochets fermé tu as un intervalle fermé c'est à dire que la borne est comprise dans l'intervalle si le crochet est ouvert c'est à dire dans l'autre sens bien ça veut dire que la borne n'est pas comprise dans l'intervalle donc l'intervalle nenê ne contient pas cette borne et c'est la même chose avec les parents pèsent contre lui utilise dans certains pays je vais l'enlever ça on n'a pas besoin pour l'instant donc voilà on a vu des intervalles fermé qui comprennent les dans lesquelles les bornes sont comprises les intervalles ouverts dans lesquels les bornes sont exclus alors tu te dis peut-être est-ce que c'est possible d'avoir un intervalle avec d'un côté ouvert et d'un côté fermé avec une borne inclus et et l'autre exclu et effectivement ça c'est tout à fait possible et on va voir un exemple de ce type d'intervalle donc je vais copier une droite numérique alors ça c'est toujours la variable x ici alors je vais faire un petit peu à l'envers en fait j'ai commencé par décrire l'intervalle de cette manière là puis après on essaiera de le dessiner sur la droite numérique alors je vais prendre je vais te dire par exemple que je vais considérer l'ensemble des valeurs x appartenant à l'ensemble des nombres réels tels que x va être alors on va le prendre strictement plus grand que -4 strictement plus grand que -4 est inférieur ou égal à - voilà alors comment est-ce qu'on peut représenter sur cette droite numérique c'est en cet intervalle là et bien déjà il faut avoir un x qui va être compris entre -4 et -1 donc tu va dessiner enfin recoloriées toute cette distance là en tout sept cette partie là de la droite numérique et ensuite il faut essayer de repérer si les bornes sont incluses ou pas alors moins 4 est strictement plus petit que x donc moins 4 ne fait pas partie de cet intervalle le nombre - 4 n'est pas compris dans cet intervalle donc je vais représenter sa part un crochet ouvert vers l'extérieur voilà et puis de l'autre côté -1 par contre x peut prendre la valeur - 1 puisque x est plus petit ou égal à moins donc je vais leur présenter comme ça voilà et ça c'est ce qu'on appelle un intervalle semi ouverts semi ouvert on va dire aussi semi fermé bien sûr mais bon voilà enfin il est ouvert d'un côté et fermé de l'autre alors on pourrait leur présenter aussi de cette manière là donc je vais le faire on va prendre l'ensemble des nombreux x appartenant à l'ensemble des nombreux réel telles que x appartient à l'intervalle alors là tu recopies c'est vraiment la même chose que recopier ce qui avec ce qui est dessiné ici en fait - 4 n'est pas compris dans l'intervalle donc on l'écrit comme ça avec un crochet ou verne point virgule l'autre bornes qui elle est comprise dans l'intervalle l'autre bornes c'est moins 1 elle est comprise dans l'intervalle donc on fait un crochet fermé vers l'intérieur comme ça voilà et là tu as le même ensemble que tout à l'heure et bon comme d'habitude le plus souvent on l'écrit de cette manière là - 4 - 1 alors il ya d'autres types d'intervalle qu'on peut considérer par exemple on peut considérer un intervalle en fait qui est tous les nombres sauf une valeur une valeur donnée par exemple 1 alors on va on va essayer de voir ce que ça donne je vais copier une droite numérique voilà et là par exemple on va considérer tous les nombres réels sauf le nombre 1 alors tous les nombreux rennes ça revient à colorier en fait toute la droite numérique donc je colorie toute la droite numérique sophie 6e 1 alors pour représenter ça en fait je fais un crochet ouvert un l'âge et colorié cette partie là si je veux montrer que le 1 n'est pas compris il faut que j'ouvre le crochet vers l'extérieur et puis ensuite je recommence et je fais un crochet vers la gauche et je colorie tous les nombres de la droite qui sont de l'autre côté de du nombreux 1 voilà en fait là ce dessin pas très très clair c'est différent tout à l'heure c'était beaucoup plus clair ici c'est pas très très clair ce que ce qu'il faut comprendre c'est que sur le dessin j'ai tout colorier sauf la valeur 1 ici la valeur inde je ne vais pas colorier parce que c'est la seule valeur que je ne veux pas prendre en compte alors comment est ce que je vais décrire cet intervalle là et bien je peux commencer par dire en fait donc je répète la phrase c'est l'ensemble de tous les nombres réels sauf la valeur alors je peux écrire ça comme ça l'ensemble des valeurs x appartenant à l'ensemble des nombreux réel gamper tels que x est différent de 1 tout simplement et là je ferme par la colla d' l'âge des l'ensemble des valeurs de x différent de 1 donc j'ai toutes les valeurs sauf un danger bien effectivement représenter ce qui est écrit ici alors on peut le faire d'une autre manière on peut très bien dire que c'est je vais écrire comme ça l'ensemble des valeurs de x appartenant à l'ensemble des nombreux réel telles que alors je peux considérer en fait tu vois ce que c'est d'une certaine manière il ya deux morceaux cet intervalle il ya les valeurs qui sont ici plus petit que 1 et les valeurs qui sont ici plus grande que 1 donc je vais écrire ça de cette manière là donc c'est l'ensemble des nombres x appartenant à air telles que x est plus petit que 1 puisque l'âge et toutes ces valeurs là x est plus petit que 1 et je prenais d'égalité strictes puisque je ne veux pas que x puisse être égal à alain donc gx qui est strictement plus petit que 1 ou bien on peut avoir aussi un x compris dans cette partie là de l'intervalle donc un x qui sera plus grand que 1 donc x plus grand qu'un et là aussi je prends une inégalité strictes puisque la valeur 1 n'est pas comprise dans l'intervalle et en fait tu vois c'est exactement la même chose là on dit que x doit être différent de 1 et là on dit qu'il doit être strictement inférieure ou strictement supérieur donc en fait c'est tout les valeurs sauf la valeur un ici voilà alors bon ça c'est la manière probablement la plus courte la plus claire pour décrire cet intervalle on dit toutes les valeurs sauf un c'est ce qui est plus simple pense mais on peut faire ça différemment il ya quelque chose d'assez intéressant qu'il faut connaître je pense c'est qu'on peut décrire ça comme ça on va dire que c'est l'ensemble des nombreux x appartenant à air telles que x appartient à l'intervalle alors je vais l'écrire comme ça mon infinie 1 et là je prends pas la valeur 1 donc je fais un crochet ouvert vers l'extérieur et donc ce que je lis ici c'est que x peut être n'importe quelle valeur entre -9 signé donc ça veut dire que en fait c'est la partie x plus petit que 1 et 2 peut pas prendre la valeur 1 donc ça c'est cette partie là en fait un ou bien x appartient à cet intervalle là qui est un plus l'infini et là je fais un crochet ouvert vers l'extérieur aussi alors tu vois ici c'est x appartient à un plus cela fini ça veut dire que x peut prendre n'importe quelle valeur supérieure strictement à un don qu'il ait plus aucun n'est plus grand que 1 mais il peut prendre n'importe quelle valeur alors ici on à ses symboles a moins l'infini et plus infinie alors en fait ici cet intervalle là bas c'est tout cette partie là donc toutes les valeurs plus petites que 1 et cette partie là l'intervalle de 1 qui va de 1 exclus jusqu'à + l'infini et bien c'est tout ce que j'ai et coloriées en verre de ce côté là ici voilà alors il faut remarquer une chose quand même pour terminer c'est que on a utilisé ici les symboles moins l'infini et plus infinie et tu vois que je les ai mis avec des crochets ouvert vers l'extérieur ce qui est assez ça se comprend parce que c'est pas il veut on peut pas inclure à la valeur moins l'infini la valeur plus l'infini en fait ça c'est une manière de dire que on peut prendre n'importe quelle valeur en allant vers les verts - finir mal envers les valeurs très très petit mais on n'atteindra jamais cette valeur donc c'est assez logique de pas mettre ça avec un crochet fermé et pour plus infinie c'est la même chose on peut prendre n'importe quelle valeur de plus en plus grande mais évidemment on va jamais atteindre une valeur qui serait plus l'infini ça n'existe pas voilà