Loi continue et densité
Une variable aléatoire $X$ continue est une variable aléatoire à valeur dans $\mathbb{R}$, elle est associée à une fonciton qu'on appelle densité $f$.
On utilise la densité ainsi : $$P(a \leq X \leq b)=\int_a^b f(t)dt$$
Soit $X$ une variable aléatoire à valeur dans $[0;+\infty[$ de densité $f(x)=2e^{-2x}$.
Soient $m$ un réel et ${\sigma}$ un réel strictement positif, $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ suit Loi normale de paramètres $m$ et ${\sigma}$ notée $\mathcal{N} (m;\sigma)$ si sa densité est $$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-{\frac{1}{2}}(\frac{x-m}{\sigma })^{{2}}}$$
Représenter les densités de paramètres 0 et 1 puis de paramètre -1 et 3.
Qu'observez vous?
Le premier paramètre de la loi normale est son espérance et le deuxième son écart-type.
Vous avez sans doute remarqué que la formule de la densité semble compliquée, en fait c'est xcas qui fera le travail.
normal_cdf(10,0.1,1,5)
.
normal_cdf(10,0.1,5,+inf)
.
normal_cdf(10,0.1,-inf,5)
.
La variable aléatoire $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(20;5)$.
Calculer les probabilités suivantes :
Une entreprise produit des bouteilles d'eau minérale de 1,5 L.
Une bouteille d'eau sortant de la chaîne de remplissage est considérée bonne si elle contient entre 149,6 cl d'eau et 150,4 cl d'eau.
On note $C$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe son contenu en centilitres. On suppose que C suit la loi normale de moyenne 150 et d'écart type 0,2.
Déterminez à $10^{-3}$ près la probabilité qu'une bouteille soit bonne.
On considère X est une variable aléatoire qui suit une loi normale de \textbf{paramètre 10 et $0,1$}. Pour déterminer le réel $a$ tel que $P(X\leq a)=0,9$ on écrit
normal_icdf(10,0.1,0.9)
.
Trouver la valeur de $a$ dans ce cas.
$X$ suit une loi normale de paramètres 10 et 2.
Calculer la valeur de $a$ si:
$X$ suit une loi normale de paramètres 5 et 1.
Calculer la valeur de $a$ si:
La normale de paramètre 0 et 1 est appelée loi normale centrée réduite.
Z suit une loi normale centrée réduite.
Déterminer $a$ dans les cas suivants :
X suit une loi normale de paramètres 20 et 3.
Déterminer $a$ dans les cas suivants :
$P(20-a\leq X\leq 20+a)=0.7$
X suit une loi normale de paramètres 10 et 1.
$P(10-a\leq X \leq 10+a)=0.95$
les résultats seront arrondis à $10^{-2}$).
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