Contenu principal
6e année secondaire - 4h
Les fonctions exponentielles
- Le cas où la question concerne une unité de temps différente de l'unité utilisée dans la définition de la fonction
- Le cas où il faut transformer l'écriture de la fonction donnée
- Changement d'unité dans un modèle exponentiel
- Interpréter un modèle exponentiel
- Une fonction exponentielle
- Définir la fonction de la forme x↦baˣ qui modélise une situation concrète
- Construire un modèle exponentiel
- Modéliser par une fonction de la forme x↦baˣ - demi-vie du carbone 14
- Constructing exponential models: percent change
- Exemple - Décroissance radioactive du Césium-137
- Déterminer si deux expressions du type a^f(x) sont égales
- Où l'on met un produit de deux exponentielles sous la forme A×Bᵗ
- Exercices concrets mettant en jeu une fonction de la forme x↦ba^x ou de la forme t↦ba^t
- Encore des exercices concrets mettant en jeu une fonction de la forme x↦ba^x ou de la forme t↦ba^t
- Fonction exponentielle base et valeur initiale
- Établir l'expression d'une fonction exponentielle à partir d'un tableau de valeurs ou de sa représentation graphique
- Analyse de la représentation graphique d'une fonction exponentielle de valeur initiale négative
- Analyse de la représentation graphique d'une fonction exponentielle
- Fonction exponentielle et tableau de valeurs
- Trouver une fonction affine ou exponentielle à partir de son tableau de valeurs
- Les expressions d'une fonction affine et d'une fonction exponentielle dont on connaît les courbes
- Majoration d'une contravention
- Établir l'expression d'une fonction exponentielle
- Qu'est-ce qu'une fonction exponentielle ?
- Représentation graphique d'une fonction exponentielle
- Associer une fonction exponentielle à sa courbe représentative
- Courbe représentative d'une fonction de la forme x↦ba^x
- Tracer la courbe représentative d'une fonction exponentielle de base a
- Traduire en termes concrets la donnée d'une fonction de la forme t ↦ab^t
- D'autres exercices qui mettent en jeu une fonction de la forme t↦ab^t
- Traduire en termes concrets la donnée d'une fonction de la forme t ↦ab^t
- D'autres exercices qui mettent en jeu une fonction de la forme t↦ab^t
.
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
Transcription de la vidéo
bonjour dans cette vidéo on va continuer à étudier un petit peu les fonctions exponentielles qu'on a vu déjà dans la vidéo précédente et surtout ce qu'on va faire c'est relier ses fonctions exponentielles à quelque chose que tu connais probablement déjà qui sont les suites géométriques alors on va commencer déjà en se rappelant un petit peu de ce qu'on avait dit sur les fonctions exponentielles en fait une fonction exponentielle c'est une fonction dans laquelle la variable apparaît en exposant dans la définition de ma fonction beau par exemple si je prends cette fonction-là h2x qui est égal à un quart x 2 élevé à la puissance x ça c'est une fonction exponentielle la variable x apparaît ici en exposant dans la définition de la fonction h alors je peux autre exemple on va dire que par exemple on a cette fonction l'aef de thé je change exprès le nombre le nom de la variable et cette fonction relève de t elle est donnée par l'expression 5 x 3 à élever à la puissance tu es donc tu vois ça aussi c'est une fonction exponentielle puisque la variable ici c'est très bien elle apparaît en exposant dans l'expression de la fonction f alors avant de continuer il faut que je donne un petit peu de vocabulaire le nombre qui est ici donc qu'est le nombre qu'on élève à la puissance la variable donc ici deux dans la fonction h ou trois dans la fonction f et bien ça c'est ce qu'on appelle la base de la fonction exponentielle la base de la fonction exponentielle et tu dois facilement relier sa au vocabulaire qu'on utilise dans le cas des puissances de élevé à la puissance x c'est une puissance de base 2 alors maintenant on va faire quelque chose qui est très fréquemment utilisé c'est qu'on va étudier ces fonctions là mais uniquement pour les variables entière donc on va prendre la variable haine qui appartient aux ans à l'ensemble des entiers naturels et donc en fait on va définir une suite alors par exemple on va définir la suite une haine une haine qui est égal a h2n2 tu vois que la différence ici c'est que la variable x était un nombre réel maintenant je vais considérer uniquement des valeurs entière de la variable x donc les notes parraine ici et puis pour la fonction fc pareil on va définir la suite vn qui va être défini par fvn cf de haine alors ce qui est intéressant ici c'est que du coup puisqu'on considère des valeurs entière on va pouvoir parler de valeur initiale valeur initiale alors la valeur initiale c'est la valeur pour rennes qui est égal à zéro donc pour la suite u n la valeur initiale c'est u20 et lui de 0 ch 2 0 et h20 du coup on peut le calculer à partir de cette expression là en fait c'est un quart x 2 élevé à la puissance 014 fois de lever la puissante 0-2 élevé la puissance 0 c'est un donc un quart fois deux éleveurs la puissance 0 c'est un quart donc la valeur initiale de cette suite là c'est usé rocky est égal à un car pour la suite vn j'aurais dû faire ça en jaune enfin tant pis pour la suite vn la valeur initiale cv 0 qui est égal à f/2 0 et f20 le calcul exactement de la même manière avec cette expression là pour tes égal à zéro donc ici on va faire cinq fois 3 élevé à la puissance 0,3 et b à la puissance 0 ça fait 1 donc finalement la valeur initiale de cette suite vn et bien c'est 5 x 1 c'est à dire 5 voilà ça c'est une première chose quand on parle de suite on a une valeur initiale avec un e pardon voilà et on arrive à la calculées à partir de l'expression de la fonction autre chose qui est très intéressant a remarqué c'est que ce qu'on a appelé tout à l'heure la base de la fonction exponentielle et bien dans notre cas ici ça va être en fait la raison d'une suite géométriques donc la base dans ce cas la base c'est la raison de la suite géométriques la raison de la suite géométriques tu vas voir que c'est exactement là je te le dis mais tu vas voir que c'est exactement ça et pourquoi est ce que c'est exactement ça et bien parce qu'en fait si tu prends par exemple h21 maintenant h donc eu un ch 2 1 2 1 c'est un cas rare fois deux élevé à la puissance 1 donc c'est un quart fois 2 1 car x 2 et en fait un car on a vu que ça s'était usé raw donc finalement eu un humain et bien ces deux fois usé row 2 fois eu zéro donc pour obtenir le terme hugo prend le terme 0 et on le multiplie par deux si je veux calculé u2 maintenant u2 est bien ch 2 2 on l'a vu tout à l'heure et h22 ces 1/4 x 2 élevée au carré on peut écrire comme ça c'est un quart x 2 x 2 puisque deux vo caresser 2 x 2 hélas qu'on peut remarquer c'est que ce terme là un quart x 2 ça c'est humain allemand u2 c'est une fois 2 donc tout à l'heure pour obtenir une un il fallait prendre 0 est multiplié par deux et là on voit que pour calculer u2 il faut prendre humain et le x 2 encore une fois donc c'est pour ça que là on reconnaît bien la raison de la suite géométriques et si tu veux on peut former lisez ça encore un petit peu plus c'est à dire que si je fais le rapport entre deux termes consécutifs donc le terme humaine +1 rapporté au terme une haine donc ce rapport là eh bien ça je vais pouvoir l'exprimer ch 2 n + 1 / h2 nh2 n + 1 c'est un quart x 2 élevé à la puissance n + 1 / h de haine qui est un quart x 2 élevé à la puissance n ici les termes un car ce simplifie et puis deux élevés la puissance n + 1 / 2 élevé à la puissance n est bien ça fait 2 donc tu vois que le rapport entre deux termes consécutifs et constant il est égal à 2 et ça c'est tout à fait de la manière dont on avait défini la raison d'une suite géométriques donc voilà ça c'est très important quand on a une fonction exponentielle etc ont restreint les valeurs de la variable des valeurs entière eh bien on obtient une suite géométriques qui a une certaine valeur initiale qu'on calcule pour n égale zéro dans certains cas n égale à 1 et puis la base de la fonction exponentielle parce qu'on avait appelé la base ici est bien c'est de la raison de notre suite géométriques alors maintenant si par exemple quelqu'un te viens viens te voir et te dit j'ai une fonction exponentielle une certaine fonction exponentielle jeu cette fonction exponentielle je l'appelle j'ai et je sais que sa valeur initiale la valeur initiale de cette fonction et bien c'est certain qu'on va dire par exemple je sais aussi que la base de cette fonction exponentielle la base de cette fonction exponentielle c'est 6 alors à partir de certaines indications là on peut tout de suite déterminé sachant que j'ai fondé une fonction exponentielle on peut tout de suite déterminé son expression et son expression ça va être g2x qui est égal à 5 la valeur initiale x 6 élevé à la puissance x voilà c'est vraiment ça la valeur initiale c'est la valeur qu'on obtient pour x égal zéro donc c5 et la base c'est le nombre qu'on va élever à la puissance la variable