Ressources
On s’appuie sur le programme de spécialité SES en classe de première et en terminale depuis la réforme du baccalauréat de 2019, ainsi que sur les documents d’accompagnement, sur le programme de mathématiques en classe préparatoire B/L (lettres et sciences sociales) et le programme de l’agrégation de SES externe ou interne (ces deux derniers étant strictement identiques sur la partie mathématique, et faisant référence explicitement aux programmes de mathématiques de première et terminale ES en vigueur
, le ministère étant visiblement peu conscient de sa propre réforme). Malheureusement, le programme du concours du CAPES de SES élude complètement la question des contenus mathématiques utiles pour les futurs professeurs de la discipline.
Contenus
Analyse de variable numérique
- Traitement d’une variable numérique : axe gradué orienté, intervalle, résolution d’équation et d’inéquation du premier degré ou du second degré, puissances et racines d’ordre supérieur
- Relation entre deux variables numériques : nuage de points, équation de droite, résolution de système linéaire à deux inconnues
- Notion de fonction : expression et courbe représentative, domaine, parité, fonctions de référence, composition, réciproque
- Analyse de fonction : variations, convexité ou concavité, limite en un point et continuité, dérivation
- Applications de la dérivée : étude des variations et courbure, élasticité, DL à l’ordre 1
- Théorèmes d’analyse : TVI et théorème des bornes, TAF, règle de l’Hôpital
- Intégration sur un segment : notion de primitive, TFA, surplus
Statistique descriptive
- Vocabulaire et enjeux : population et individu, jeu de données, expériences aléatoires, typologie des variables
- Étude de variable qualitative : représentation graphique, tableau des effectifs ou fréquences (relatives), diagramme circulaire ou de Pareto, diagramme en barres, fréquences cumulées, médiane et quantiles
- Distribution d’une variable quantitative : diagramme en feuilles, histogramme, ogive des fréquences cumulées, réduction du nombre de modalités en classes, commentaire graphique, médiane et quantiles, étendue, écart et rapport interquartiles, diagramme en boite
- Moments d’une variable quantitative : moyenne, moyenne pondérée, moyenne tronquée, variance et écart type, coefficient de variation, asymétrie, z-score, théorème de Tchebychev
- Comparaison et agrégation de données : superposition de diagrammes, coefficient de corrélation Spearman, variance totale, odds ratio
- Statistique bivariée : tableau de contingence, effectifs et fréquences marginales, covariance et coefficient de corrélation linéaire, régression linéaire, multiple ou logistique
- Série chronologique : indice, taux d’évolution, données transversales
- Notion de probabilité (approche fréquentiste, taux, intervalle de fluctuation) ou Statistique inférentielle (échantillon, estimateur non biaisé)
Analyse à plusieurs variables
- Vecteurs et matrices réelles : opérations, produit scalaire et norme, déterminant, mineur
- Fonction de plusieurs variables : représentation graphique, coupe verticale, courbe de niveau, fonction homogène, réciproques
- Dérivation pour plusieurs variables : dérivées partielles, gradient, dérivée directionnelle, dérivée d’ordre supérieur, théorème de Schwarz-Young
- Optimisation libre : maximum ou minimum local ou global, condition du premier ordre, point selle, matrice hessienne, condition du second ordre
- Optimisation sous contrainte : fonction objectif, contrainte en équation ou en inéquation, réduction du nombre de variables, condition du premier ordre, méthode du lagrangien, matrice hessienne bordée, condition du second ordre
Variable aléatoire discrète
- Suites réelles : suites de référence (arithmétique, géométrique, arithmético-géométrique, inverse…), suite récurrente simple, variations et critères, principe de récurrence
- Analyse asymptotique : limite de suite, existence et calcul, équivalent, comparaison de croissance entre logarithme, puissance, géométrique et factorielle
- Série à termes positifs : symbole somme, séries de référence (géométrique, exponentielle), convergence de série, critère de Riemann
- Calculs de probabilités : notion d’univers et d’évènement, formulaire, équiprobabilité, probabilité conditionnelle, indépendance
- Variables aléatoires discrètes : loi de probabilité, lois de référence (uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson), espérance et variance
- Relations entre variables aléatoires : loi conjointe, loi marginale, indépendance, covariance, coefficient de corrélation linéaire, stabilité
Variable aléatoire réelle
- Limite de fonction : définition, limites de référence, comparaison de croissance, équivalent
- Calcul intégral : intégration par parties, changement de variable, décomposition en éléments simples
- Intégrale généralisée : convergence, théorème de comparaison, comparaison série intégrale
- Variables aléatoires à densité : fonction de densité, fonction de répartition, lois de référence (uniforme, exponentielle, normale), espérance et variance
- Applications de la loi normale : intervalle de fluctuation, approximation des lois binomiale et de Poisson
Statistique inférentielle
- Échantillon de variables aléatoires : moyenne empirique, maximum ou minimum, somme de variables de Bernoulli, Poisson, normales, exponentielles, khi²
- Inégalités en probabilités : inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, convergence en probabilité, loi des grands nombres
- Convergence en loi : fonction caractéristique, théorème central limite, approximations des lois binomiale, Poisson, khi².
- Estimation ponctuelle : estimateur sans biais, convergent, estimateurs de l’espérance et de la variance, bornes d’une loi uniforme, maximum de vraisemblance
- Intervalle de confiance : paramètres d’une loi normale, exponentielle, uniforme
Test d’hypothèse
- Conformité : test de la moyenne avec ou sans variance connue, adéquation à une loi discrète avec test du khi²
- Ajustement : techniques graphiques, degrés de liberté, tests de normalité, application en fiabilité
- Indépendance : khi² pour une variable discrète ou discrétisée, corrélation linéaire pour des variables normales
- Homogénéité : comparaison d’échantillons gaussiens, comparaison de moyennes, statistique d’ordre, analyse de la variance
Systèmes dynamiques
- Calcul matriciel : produit matriciel, puissances, vecteur propre et valeur propre, polynôme annulateur
- Théorie des graphes : vocabulaire, matrice d’adjacence, matrice de transition, matrice stochastique
- Marche aléatoire : pile ou face, marche aléatoire dans le plan, sur un graphe fini
- Processus stochastique en temps continu : processus de Poisson, mouvement brownien, vol de Levy
- Équation différentielle : équation linéaire d’ordre 1 ou plus, équation autonome, approximation en temps discret, limite en temps continu de processus stochastiques discrets