Ecuacion diferencial autonoma de primer orden
En este artículo aprenderás de manera clara y sencilla cuando una Ecuacion Diferencial (ED) ordinaria de primer orden es autonoma, y marcaremos con precisión su forma general, para saber cuándo nos encontramos frente a una de ellas.
Este es un ejercicio resuelto extraído de:
Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 38).
Lea el siguiente análisis y construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones no constantes tienden a la asíntota horizontal $y = 4$ conforme $x \rightarrow \infty$ .
ANÁLISIS:
La solución de una ecuación diferencial :
$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-3y=6$ …………………….(1)
Es la suma de dos soluciones:
$y=y_{c}+y_{p}$
Donde:
$y_{C}=C{{\text{e}}^{3x}}$ , es la solución homogénea del (1).
$y_{p}=-2$ es una solución particular de la ecuación no homogénea: $y’-3y=6$ .
(Se puede verificar estos resultados aplicando el Método de los 4 pasos, aquí hay un ejemplo de la aplicación del método, da click aquí, o mejor aún se puede utilizar el método de separación de variables, ver más adelante un ejemplo de solución con este último método)
Ecuación diferencial autonoma y la forma estándar de una ED |
Cuando $a_{1}{(x)}, a_{0}{(x)}$ y $g{(x)}$ son constantes en la siguiente ecuación:$a_{1}\left( x \right)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+a_{0}\left( x \right)y=g\left( x \right)$ (FormaestándardeunaED de 1er orden),
La ecuación diferencial es autonoma. |
Dicho de otra forma, una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explícitamente se llama ecuación diferencial autonoma.
En la ecuación diferencial (1), al escribirla en la forma: $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3\left( x+2 \right)$, podemos ver que $-2$, es un punto crítico y que es inestable (un repulsor); esto es más claro, si vemos la gráfica de la ED para diferentes valores de de $C$, de su solución: $y\left( x \right)=-2+C{{\text{e}}^{3x}}$.
Valores para C | Valores de y(x) |
---|---|
-80 | -2-80 E^(3 x) |
-20 | -2-20 E^(3 x) |
-5 | -2-5 E^(3 x) |
-1 | -2-E^(3 x) |
-0.1 | -2-0.1 E^(3 x) |
-0.01 | -2-0.01 E^(3 x) |
-0.001 | -2-0.001 E^(3 x) |
-0.0001 | -2-0.0001 E^(3 x) |
-0.00001 | -2-0.00001 E^(3 x) |
0 | -2 |
0.00001 | -2+0.00001 E^(3 x) |
0.0001 | -2+0.0001 E^(3 x) |
0.001 | -2+0.001 E^(3 x) |
0.01 | -2+0.01 E^(3 x) |
0.1 | -2+0.1 E^(3 x) |
1 | -2+E^(3 x) |
5 | -2+5 E^(3 x) |
20 | -2+20 E^(3 x) |
80 | -2+80 E^(3 x) |
Gráfica de algunas de las soluciones de la ED (autónoma): $y’-3y=6$. En esta gráfica se ve por qué el nombre de “repulsor” para el valor de $y=-2$. Las curvas por arriba del punto crítico: $y=-2$, son independientes de las curvas solución que pasan por debajo de dicho punto.
En esta gráfica se puede ver como cualquiera de las curvas solución de la ED lineal $y’-3y=6$, que estén por arriba o por debajo del punto crítico (también llamado punto de equilibrio): $y=-2$, se alejan de esta recta horizontal, conforme $x\to \infty $ .
FIN DEL ANÁLISIS.
Ahora, el problema a plantear es:
CONSTRUIR UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN PARA QUE TODAS LAS SOLICIONES NO CONSTANTES TIENDAN A LA ASÍNTOTA $y=4$ , CONFORME $x\to \infty $.