Distancias a una recta y un plano (GIOI)
De Laplace
Contenido |
1 Enunciado
Calcule la distancia d1 que separa al punto P(1.00,2.50,2.08) (m) del plano que pasa por el punto A(0.31,0.10,0.00) (m) y es perpendicular al vector . Halle la distancia d2 del mismo punto P a la recta que pasa por A y lleva la dirección de . ¿Se cumple que ?
2 Distancia al plano
En lo que sigue, todas las distancias están en metros.
La distancia de un punto a un plano que pasa por A y es perpendicular a la da la fórmula
En este caso tenemos
y
lo que nos da la distancia
3 Distancia a la recta
La distancia del mismo punto a la recta que pasa por A y lleva la dirección de la da la fórmula
En este caso
siendo el módulo
y la distancia
4 Suma de cuadrados
La distancia AP cumple
Por otro lado se tiene
La razón de que aquí se cumple el teorema de Pitágoras es fácil de ver. Por un lado se tiene que
u, por otro,
Por tanto
Las distancias a la recta y a l plano son los dos catetos de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es el lado AP.