Las propiedades de las potencias establecen que al multiplicar dos números que tienen la misma base, se suman los exponentes, este hecho da pie para para calcular la suma de los primeros elementos de una sucesión geométrica. Formalmente, si consideramos una sucesión geométrica, definimos la suma de sus primeros elementos de la siguiente forma:
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Para deducir la fórmula que define esta suma aplicaremos algunos artilugios matemáticos pues considerando que la sucesión es geométrica, cada elemento está definido como , para todo . Por lo tanto, tenemos que
Si multiplicamos por , cada uno de los sumandos involucrados será multiplicado por , obteniendo que
Consideremos la resta
Por lo tanto concluimos que , entonces sacando factor común en el lado izquierdo de la ecuación y sacando factor común en el lado derecho de la ecuación, obtenemos que
Finalmente, despejamos para obtener la fórmula que nos permite calcular la suma de los primero elementos de una sucesión geométrica
Veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.
Ejemplos
Ejemplo 1
Considerando la sucesión . Calcule la suma de los primeros 15 términos.
La base de esta sucesión es y su razón es . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 15 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:
Ejemplo 2
Considerando la sucesión . Calcule la suma de los primeros 13 términos.
La base de esta sucesión es y su razón es . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 13 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:
Ejemplo 3
Considerando la sucesión . Calcule la suma de los primeros 11 términos.
La base de esta sucesión es y su razón es . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 11 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:
Ejemplo 4
Considerando la sucesión . Calcule la suma de los primeros 9 términos.
La base de esta sucesión es y su razón es . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 9 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera:
Ejemplo 5
Considerando la sucesión . Calcule la suma de los primeros 7 términos.
La base de esta sucesión es y su razón es . Por lo tanto, la forma general para calcular los primeros 7 términos de esta sucesión está expresada de la siguiente manera: