Interfaz de Uso de la Vista CAS
Esta vista que integra la Perspectiva CAS, aparece, por omisión, junto a la Gráfica y según cuál de las dos está activa, la Barra de Herramientas en el margen superior será una u otra con los botones de de Deshace/ Rehace en la esquina derecha.
Este escenario puede modificarse de acuerdo a lo que se precise tanto respecto de la Disposición como de las ubicaciones relativas de los elementos.


Separada o Integrada
Esta ventana, como las demás, puede abrirse por separado y/o (re)incorporarse al conjunto.
Basta con un clic en el botón Expone en una Nueva Ventana que aparece en el extremo derecho de la Barra de Título y, viceversa, un clic en el botón Expone en la Ventana Principal.
Un video presenta, en italiano, el funcionamiento básico de la Vista CAS. |
Creando Objetos Matemáticos
Esta vista, asociada al Sistema de Computación Algebraica, permite incluir literales y operar simbólicamente,
Compuesta por filas que habilitan una celda o campo de entrada en el renglón superior y presentan la salida en el inferior.
Su funcionalidad es similar a la de la Barra de Entrada con las siguientes diferencias:
- Pueden emplearse literales sin valor asignado en operaciones simbólicas. Por ejemplo, "(a+b)^2" se evalúa como a^2 + 2*a*b + b^2
- El producto debe explicitarse en las operaciones, empleando el signo respectivo o, al menos, un espacio. Así, mientras en la Barra de Entrada puede anotarse tanto a(b+c) como a*(b+c), la multiplicación, en la Vista CAS solo es válida cuando se incluye el signo
*
y debe anotarse comoa*(b+c)
o, en última instancia,a (b+c)
=
se emplea para las ecuaciones y:=
para las asignaciones. Por eso,b=2
no asigna el valor 2 a bVer Asignaciones...- Los usos del signo igual se distinguen incluso desde la sintaxis correspondiente dado que...
=
se emplea para anotar ecuaciones:=
para la asignación de variables==
para el control Booleano de igualdad. siendo la salida un valor de verdad según sean iguales o no sendos miembros a derecha e izquierda del signo.
Alerta: Estas distinciones tienen consecuencias prácticas. Así: - h:=2 le asigna a h el valor 2
- h=2 en lugar de asignarle a h el valor 2, establecerá una función h con valor constante 2
- h == 2 evaluará si h equivale a 2
- Nota: Ver la sección sobre asignaciones para mayores detalles.
Entradas Básicas
- Enter o Intro, activado evalúa la entrada
- Ctrl + Enter, o Intro con activo, valora numéricamente la entrada. Por ejemplo,
sqrt(2)
da 1.41. - Alt + Enter controla la entrada pero no la evalúa. Así, b + b sigue siendo b + b y
sqrt(2)
da \sqrt{2}.
Vale notar que las asignaciones son evaluadas siempre. Por ejemplo, a := 5 - En una entrada de fila vacía:
- la barra espaciadora reitera la salida previa
)
para reproducir la salida previa, entre paréntesis=
para repetir la entrada previa
- Se concluye la salida con un punto y coma al final de la entrada como, por ejemplo,
a := 5;
Variables
Asignaciones y Conexiones con GeoGebra
- Las asignaciones requieren la notación
:=
. Por ejemplo,b := 5
,a(n) := 2n + 3
- Para liberar un nombre de variable se puede emplear
Elimina[b]
- Para redefinir una variable o función, se lo debe realizar en la misma celda de la fila en que se originaron porque de no ser así, se considerarán un nuevo objeto y se renombrará la variable o función previas
- Las variables y funciones siempre las comparten en conjunto la Vista CAS en particular y GeoGebra en general, en todos los casos posibles.
- Si se define
b:=5
en la Vista CAS, se puede usar b en todo ámbito de GeoGebra. - Si se ha definido la función
f(x)=x^2
en la Barra de Entrada, se puede usar tal función también en la Vista CAS.
- Si se define
- Nota:
La salida será siempre la expresión detrás del signo:=
. Así, cuando se anotab:=5
, la salida será5
.
Efectivamente se mostrará b := 5.
Ecuaciones
- Las ecuaciones se escriben usando simplemente el signo igual. Como:
3x + 5 = 7
- Se pueden realizar operaciones aritméticas y/o algebraicas sobre ecuaciones, afectando uno y otro miembro. Como en:
(3x + 5 = 7) - 5
en que se resta 5 a ambos lados de la ecuación.Atención: Esta maniobra es muy útil para la resolución manual de ecuaciones.
PrimerMiembro[3x + 5 = 7]
da por resultado 3 x + 5 ySegundoMiembro[3x + 5 = 7]
da 7Atención: Esto permite controlar incluso resoluciones, como ilustra el ejemplo que aparece a continuación.
- Se ingresa la ecuación
- Se resta 4x de uno y otro miembro
- Se suma 5 a ambos miembros
- Se dividen ambos miembros por 2
- Se toma el primer miembro de la ecuación original para controlar la solución encontrada
- Con la herramienta se sustituye el primer miembro por 6. El resultado es 31
- Se toma el segundo miembro de la ecuación original para controlar la solución encontrada
- Con la herramienta se sustituye el segundo miembro por 6. El resultado también es 31
Referencias de Fila
Se puede hacer referencia a otras filas de la Vista CAS de dos maneras:
- Referencias Estáticas de fila:
Se copia el contenido de otra fila (ecuación, fórmula, etc.). La copia 'no será actualizada si la fila referida es modificada a posteriori.
Se copia texto desde otra fila con...#
, la salida previa#5
la salida de la fila 5##
, la entrada previa#5#
, la entrada de la fila 5
- Referencias Dinámicas de fila:
Se copia el contenido de otra fila ( ecuación, fórmula, etc.). La copia será actualizada si la fila referida es modificada a posteriori.
De tal modo se inserta, con...$
, la salida previa$5
, la salida de la fila 5$$
, la entrada previa$5$
, la entrada de la fila 5
Comandos y Herramientas
En esta vista, los comandos admiten, en general, literales para operar simbólicamente. Cuando el resultado lo hace viable, al tildar el redondelito que encabeza cada fila, se crea un objeto que pasa a quedar registrado en la Vista Algebraica y representado en la Gráfica.
Conviene consultar los comandos CAS y las herramientas CAS de Cálculo Formal. Resolución de Ecuaciones
- Soluciones[ <ecuación> ] resuelve una ecuación en x
- Soluciones[x^2 = 4] da por resultado {2, -2}
- Soluciones[ecuación , var] resuelve una ecuación para la variable dada.
- Soluciones[3a = 5b, a] da por resultado {5b / 3}
- Resuelve[ <ecuación > ] resuelve una ecuación en x
- Resuelve[x^2 = 4] da por resultado {x = 2, x = -2}
- Resuelve[ecuación , var] resuelve una ecuación para la variable dada.
- Resuelve[3a = 5b, a] da por resultado {a = 5b / 3}
Sistema de Dos Ecuaciones
- Soluciones[{ecuación 1, ecuación 2}] resuelve dos ecuaciones para x e y
- Resuelve[{ecuación 1, ecuación 2} ] resuelve dos ecuaciones para x e y
- Resuelve[ {x + y = 2, y = x} ] da por resultado {{x = 1, y = 1}}
- Resuelve[ {ecuación1, ecuación2}, {var1, var2} ] resuelve dos ecuaciones para var1 y var2
- Resuelve[ {a + b = 2, a = b}, {a, b} ] da por resultado {{x = 1,y = 1}}
Comandos Básicos
- Desarrolla[expresión] desarrolla la expresión dada
- Desarrolla[(x-2) (x+3)] da por resultado x^2 + x - 6
- Factoriza[expresión] factoriza la expresión dada
- Factoriza[2x^3 + 3x^2 - 1] da por resultado 2*(x+1)^2 * (x-1/2)
- ValorNumérico[expresión] aproximación numérica a la expresión
- ValorNumérico[1/2] da por resultado 0.5
- ValorNumérico[expresión, precisión] procura determinar una aproximación numérica a la expresión dada con la precisión indicada en cantidad de cifras significativas
- ValorNumérico[sin(1), 20] da por resultado 0.84147098480789650666
Cálculo
- Limite[ <expresión>, <variable>, <valor> ] procura determinar el límite de una expresión.
- Limite[sin(x)/x, x, 0] da por resultado 1
- LímiteDerecha[ <expresión>, <variable>, <valor> ] procura determinar el límite superior de una expresión.
- LímiteDerecha[ 1/x, x, 0 ] da por resultado Infinito
- LímiteIzquierda[ <expresión>, <variable>, <valor> ] procura determinar el límite inferior de una expresión.
- LímiteIzquierda[ 1/x, x, 0 ] da por resultado Infinito
- Suma[ <expresión>, <variable>, <desde>, <hasta> ] halla la suma de una secuencia
- Derivada[ <función> ], Derivada[ <función>, <variable> ], Derivada[ <función>, <variable>, <n> ] calcula la derivada de una función respecto de la variable dada. Se asume que la variable es "x" de no establecerse otra.
- Integral[ <función>, <variable> ], Integral[ <función>, <variable>, x1, x2 ] halla la integral (definida) de una función respecto a la variable dada
- Ejemplos:
Si hubiera una entrada como:ListaRaíces[Secuencia[5] ñ]
daría por resultado la lista {(ñ, 0), (2ñ, 0), (3ñ, 0), (4ñ, 0), (5ñ, 0)} a la que no es posible darle entidad ni en el registro algebraico ni en el gráfico porque se está frente a una operación de orden simbólico.
La lista devendría de puntos si se le asignara valor a ñ acaso empleando la herramienta para la sustitución y entonces, efectivamente, tildar el redondelito a la izquierda de la fila sería no solo viable sino además eficaz para que la lista, ahora de punto, se exponga en sendos registros ( gráfico y algebraico).
Si esta asignación, en lugar de a través de una sustitución. se realizara creando un deslizador ñ, sería preciso volver a pulsar Enter (Intro en algunos teclados) en la expresión correspondiente para que el resultado se correlacione dinámicamente con el valor que fuera tomando ñ y desde ese momento tener disponible el redondelito izquierdo para el tildadoCauchy[ñ, 2 ñ, x]
da por resultado 0.32arctan(\frac{x - 2 ñ}{ñ}) + 0.5 si se pulsa y con \frac{ 2 arctan(\frac{x-2 ñ}{ñ}) + π}{ \ 2 \pi } sería trazado como representación en la Vista Gráfica al tildar el redondelito que encabeza la fila correspondiente de la Vista CAS.Pascal[1, 1 / 3, x[A] > 2]
da 0.94 o 5.12 un resultado acorde al valor dinámico de verdad de la variable booleana pero no se desenvuelven los diagramas.
Si se tildara el redondelito de encabezamiento de la fila, quedará representado el deslizador correspondiente al valor, no el histograma.
En uno u otro caso, para ver el registro gráfico de los puntos resultantes, será necesario tildar el redondelito a la derecha de la fila correspondiente en la Vista CAS.
La barra de Herramientas CAS ofrece un repertorio que permiten evaluar lo ingresado en esta vista, desarrollar análisis de datos y/o funciones y realizar cálculos tanto simbólicos como numéricos usando el mouse o ratón.
Sus herramientas se organizan en barra como se ilustra a continuación:
Evalúa Valor
NuméricoConserva
EntradaFactoriza Desarrolla
Sustituye Resuelve Resolución
NuméricaDerivada Inspección
de funcionesEliminar Integral Cálculo de
probabilidades
- Un clic en un botón de la Barra de Herramientas, le establece un comando a la fila que se estuviera editando
- Se puede seleccionar parte de un texto de entrada para aplicarle la operación solo a lo elegido
- Ejemplos:
En la línea 2, solo el 15 fue seleccionado antes del clic en la herramienta Factoriza
En la línea 3, el puntero se encontraba al final de la entrada antes del clic en la herramienta Factoriza
Si hubiera una entrada como:Baricentro[{A, B, Interseca[x^2 + 1, (x - 3)^2 + 1] }, {Distancia[ A, K] , 7, Máximo[ 1, Distancia[B, A] ] } ]
en una fila, se podría seleccionar una u otra sección para conocer resultados de cada una. Así, al seleccionar...
GeoGebra para Escritorio
Esta Barra se abre y cierra pulsando la flechita Barra de Estilo (In)Activa en la esquina izquierda de la Barra de Títulos de esta vista.
Al activar la Barra de Estilo se aprecian sus iconos de efectos específicos.
Inicialmente dosT
y
- despliega un Teclado Virtual como uno de los que se aprecia en la ilustración
T
ratar activa una entrada como línea de texto
T
habilita a su vez a:
N T
rata un texto con recursos textuales.
Como:
- dos botones y para las Negritas y las Itálicas respectivamente.
- es el que permite el cambio de color usando una paleta colores:
La paleta puede desplegarse pulsando la flechita junto a
GeoGebra para Tablets
Pulsando sobre el ícono de la esquina superior derecha de la Vista CAS se accede a un par de botones:
- Texto :
- para incluir vistas adicionales
N Menú contextual del encabezado de filas
El menú contextual que se despliega vía clic derecho sobre el encabezado de fila presenta las siguientes opciones:
- Inserta Arriba: inserta una fila vacía sobre la seleccionada (de la primera, si fueran varias)
- Inserta Debajo: inserta una fila vacía debajo de la seleccionada (de la última, si fueran varias)
- Elimina Fila m / Elimina n filas: elimina la fila m o las n filas seleccionadas (por ende, su contenido).Ejemplo: Cuando son dos o más las escogidas, lo ofrecido por el menú contextual es Elimina 2 filas (o el número de las que estuvieran seleccionadas).Atención: En uno u otro caso, todo se recompone para que la presentación y numeración de las filas que perduran sean las adecuadas.
- Texto: Del mismo modo que el botón de acción T, permite introducir un texto o comentario, alternando el modo de presentación de los contenidos como se explica en la sección ¿Textual dinámica o literalmente?.
- Copia como LaTeX (GeoGebra para Escritorio): copia los contenidos de la fila seleccionada en el portapapeles para poder pegarlos luego, por ejemplo, en un documento o en la Vista Gráfica con la herramienta de Texto (tildando la opción correspondiente a LaTeX).Nota:
Para copiar como LaTeX los contenidos de varias filas, basta con...
-seleccionarlas, clic mediante con la tecla Ctrl pulsada
-pasar luego a la Copia como LaTeX del menú contextual que despliega el clic derecho sobre el encabezado de filas.Alerta: Si la fila se redujera a un comentario en lugar de a un contenido LaTeX, se copiaría un código nulo \\ en su lugar y se perdería el texto en sí.
Menú Contextual tras selección de una salida
En GeoGebra para Escritorio, clic derecho (MacOS: Ctrl-clic) en una de las filas de la Vista CAS para que se despliegue el Menú Contextual, se ofrecen varias opciones. En caso de haber seleccionado una salida, el menú contextual ofrece cuatro variantes:
- Copia
- Copia como LaTeX
- Copia fórmula LibreOffice
- Copia como imagen
- Las dos primeras alternativas son adecuadas para pegar a posteriori el contenido del portapapeles como texto en la Vista Gráfica.
- La tercera, pegarlo como fórmula (de las de formato afín a Libre Office) en un documento (como los elaborados con un procesador de textos u otro utilitario general)
- La última, que almacena en formato PNG la imagen, ofrece varias alternativas como la de pegarla...
- en un documento elaborado con un procesador de textos
- en uno de dibujos (como el Gimp entre otros que pudieran incorporar la imagen)
- en la Vista Gráfica empleando...
- la herramienta correspondiente y, en la posición de la Vista Gráfica deseada, pulsando Alt
- la opción Inserta imagen desde.., del menú Edita, indicando PortapapelesAtención: Esta última instancia desencadena una alternativa más dúctil porque la imagen incluye un par de puntos en sus esquinas inferiores desde las que se la puede manipular (cambiar la dimensión, posición, orientación...).
- Las dos primeras alternativas son adecuadas para pegar a posteriori el contenido del portapapeles como texto en la Vista Gráfica.
Atención: Cuando se selecciona una salida, queda inhabilitada la selección de múltiples filas.Una vez copiada la salida en el portapapeles, se la puede pegar tal como se explicara e ilustran las siguientes imágenes:
Imagen pegada y fórmula documentada
En caso de pegar en un documento la fórmula previamente copiada, bastará con pulsar Ctrl + V.
A continuación se ilustra el ejemplo en que se pegó como imagen, lo almacenado de tal modo en el portapapeles:
¿Textual dinámica o literalmente?
Cuando lo que se introduce como comentario incluye un término o palabra que coincide con el nombre de una variable, será reemplazado por su valor a menos que se haya indicado el contenido de la fila como texto.
- Nota: Se ilustra a continuación el modo de operar del botón de acción T y de la opción Texto del menú contextual incluyendo el caso antes descripto respecto de la palabra ha como variable y como texto literal.
Cálculos Algebraicos en Geometría
Desde la versión GeoGebra 5 en adelante, esta ventana admite el tratamiento de operaciones con literales o la evaluación precisa de algunos Comandos de Geometría.
Se permiten además, para algunos desarrollos de curvas paramétricas como los que se detallan a continuación.Cálculos Precisos
- Radio[x^2+y^2=1/sqrt(π)] da por resultado...
\frac{\sqrt{\pi \sqrt{\pi}}}{\pi} (0.75 cuando se ingresa desde la Barra de Entrada y el redondeo se hubiera fijado a 2 decimales)
- Circunferencia[x^2+y^2=1/sqrt(π)] da...
2 \sqrt{\pi \sqrt{\pi}} (4.72 cuando se ingresa desde la Barra de Entrada y el redondeo se hubiera fijado a 2 decimales)
Cálculos con literales
Distancia[(a,b),p x + q y = r] da \sqrt{ \left( \frac{1}{q} r - b \right)^{2} + \left( -a \right)^{2}} cuando se evalúa y \sqrt{a^{2} q^{2} + b^{2} q^{2} - 2 b q r + r^{2}} \cdot \frac{\left|q\right|}{q^{2}} como Valor Numérico
Alerta: Esta fórmula parece inadecuada en tanto daría 1 si se tratara de la Distancia[(0,0), x + y = 1] en lugar de \frac{1}{\sqrt{2}} que es el valor pertinente.
Entrada Evalúa Valor Numérico Distancia[(a,b),(c,d)] \sqrt{ \left( b - d \right)^{2} + \left( a - c \right)^{2}} \sqrt{a^{2} - 2 a c + b^{2} - 2 b d + c^{2} + d^{2}} Distancia[(a,b),p x + q y = r] \sqrt{ \left( \frac{1}{q} r - b \right)^{2} + \left( -a \right)^{2}} \sqrt{a^{2} q^{2} + b^{2} q^{2} - 2 b q r + r^{2}} \cdot \frac{\left|q\right|}{q^{2}}
- Nota: Ver sección Geométricos en Vista Algebraica CAS.
Opciones de Vista CAS
Nota: Se accede a esta Caja de Diálogo desde Preferencias, en el extremo superior derecho de la ventana de GeoGebra, al escoger Vista CAS de entre las opciones desplegadas.En la Caja de Diálogo, puede establecerse...- el plazo para realizar en esta vista, la tarea demandada
- cómo exponer los racionales
- Atención: El plazo se selecciona de una lista desplegable que ofrece 5/10/20/30/60 segundos.
En esta vista, al (des)tildar el redondelito a la izquierda de cada fila se establece el estado de visibilidad (expuesto u oculto) del objeto definido.
Cuando esto es viable, el objeto creado pasa a ser visible en la Vista Gráfica activa y a tener entidad y denominación en la Algebraica.
El específico tratamiento simbólico de las operaciones establece resultados que no siempre dan pie a la exposición gráfica o al registro algebraicoUn video presenta, en italiano, el funcionamiento básico de la Vista CAS.
Formales Herramientas en Barra
Como las demás, esta vista dispone de su propia Barra de Herramientas que como las otras, puede personalizarse seleccionando Confección de Barra de Herramientas Particular del Menú de Herramientas y eligiendo, en la lista desplegable que se ofrece en el correspondiente cuadro de diálogo, la alternativa CAS - Cálculo Simbólico.
Denominación de las Herramientas
Evalúa Valor
NuméricoConserva
EntradaFactoriza Desarrolla
Sustituye Resuelve Resolución
NuméricaDerivada Eliminar Integral
Confección de Barra Particular
La Confección de Barra de Herramientas Particular del Menú de Herramientas permite elegir, en la lista desplegable que se ofrece en el correspondiente cuadro de diálogo, la alternativa CAS - Cálculo Simbólico en la que se puede operar como explica el artículo correspondiente.
Cálculos Geométricos y Precisos
Entrada
Evalúa
Valor NuméricoCircunferencia[(a,
b),r](-a + x)² + (-b + y)² = r² a² - 2 a x + b² - 2 b y +
+ x² + y² = r²Distancia[(a,b),(c,d)] \sqrt{ \left( a - c \right)^{2}+\left( b - d \right)^{2}} \sqrt{a^{2}- 2ac + b^{2} - 2 b d + c^{2} + d^{2}} Recta[(a,b),(c,d)] f{y = \frac{a d - b c}{a - c} + x \frac{b - d}{a - c}} y = \frac{a d - b c + b x - d x}{a - c} Recta[(a,b),
y=p x+q]y = - a p + p x + b y = -a p + b + p x Mediatriz[(a,b),(c,d)] y = \frac{-a + c}{b - d} x + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}}{2 b - 2 d} y = \frac{a^{2} - 2 a x + b^{2} - c^{2} + 2 c x - d^{2}}{2 b - 2 d} PuntoMedio[(a,b),(c,d)] \left( \frac{a + c}{2}, \frac{b + d}{2} \right) \left( 0.5 a + 0.5 c, 0.5 b + 0.5 d \right)
Cálculos Precisos Tabulados
Entrada Evalúa Valor Numérico Ángulo[(1,0),(0,0),(1,2)] arctan \left( 2 \right) Numérico : 1.11
Entrada : 63.43° o 1.11 rad según la unidad angular elegidaBisectriz[(0,1),(0,0),(1,0)] y = x Numérico : y = x
Entrada : - 0.71 x +0.71 y = 0Contorno[x^2+y^2=
1/sqrt(π)]2 \sqrt{ \sqrt{\pi} \pi} 4.72
Perímetro[x^2+y^2 = 1/sqrt(π)] da en ambos casos 4.72Distancia[(0,0), x + y = 1]
Simplifica[
Distancia[(0,0), x+y=1]]\frac{\sqrt{2}}{2}
\frac{\sqrt{2}}{2}0.71 Distancia[(0,0),x+2y=4]
Simplifica
[Distancia[(0,0),x+2y=4]]4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}
4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}1.79 Radio[x^2+y^2=1/sqrt(π)] \frac{\sqrt{\sqrt{\pi} \pi}}{\pi} 0.75 Entrada Evalúa Valor Numérico Distancia
[(0,4),y=x^2]
Simplifica
[Distancia[(0,4),y=x^2]]\frac{\sqrt{15}}{2}
\frac{\sqrt{15}}{2}1.94
Distancia
[(0.5,0.5),x^2+y^2=1]
Simplifica
[Distancia[(0.5,0.5),x^2+y^2=1]]\frac{-\sqrt{2} + 2}{2}
\frac{-\sqrt{2} + 2}{2}0.29 Entrada Evalúa Elipse[(2,1),(5,2),(6,1)] 32 x^{2} \sqrt{2} + 36 x^{2} - 224 x \sqrt{2} - 24 x y - 216 x ...
... + 32 \sqrt{2} y^{2} - 96 \sqrt{2} y + 256 \sqrt{2} + 68 y^{2} - 120 y + 196 = 0Elipse[(2,1),(5,2),(5,1)] 28 x^{2} - 24 x y - 160 x + 60 y^{2} - 96 y + 256 = 0 Entrada Valor Numérico Elipse[(2,1),(5,2),(6,1)] Numérico: 81.25 x^{2} - 24 x y - 532.78 x + 113.25 y^{2} - 255.76 y + 558.04 = 0
Entrada: 81.25 x^{2} - 24 x y - 532.78 x + 113.25 y^{2} - 255.76 y = - 558.04Elipse[(2,1),(5,2),(5,1)] Numérico: 28 x^{2} - 24 x y - 160 x +
60 y^{2} - 96 y + 256 = 0
Entrada: 7 x^{2} - 6 x y + 15 y^{2} - 40 x + - 24 y = - 64