Divisibilidad
En matemáticas, concretamente en aritmética, se dice que un número entero b es divisible por otro entero a (no nulo) si existe un entero c tal que: . Esto es equivalente a decir que el resto de la división euclídea es cero o simbólicamente .
Se suele expresar de la forma , que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a». Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.
Cualquier número natural es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se llaman números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.
Definición
El número entero es divisible por el número entero (o lo que es lo mismo, b divide a a) si hay un número entero, tal que .
Este hecho se denomina divisibilidad del número entero por el número entero y se denota por ; que no es otra cosa que una afirmación entre los números enteros, que, en un contexto concreto, puede ser cierta o no. Por ejemplo es cierta; sin embargo, no es cierta. Si no es divisor de escribimos . Notemos que para todo distinto de cero, pues para todo entero.
Factor o divisor propio
Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de n, pero diferente de n. Los divisores 1 y n son denominados impropios.
Por ejemplo, los divisores propios de 28 son 1, 2, 4, 7 y 14. Cuando se toman en cuenta enteros negativos, un divisor propio es aquel cuyo valor absoluto es menor al número dado. En este caso, los divisores propios serían -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14.
Casos especiales: 1 y -1 son factores triviales de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.
Si d es un divisor de a y y el único divisor que admite d es 1 y sí mismo, se llama divisor primo de a. De hecho es un número primo. El 1 es el único entero que tiene un solo divisor positivo.
Propiedades
Sean , es decir , y son números enteros. Tenemos las propiedades básicas:
- Si entonces (Propiedad reflexiva).
- si y entonces . Son iguales o bien uno es el opuesto del otro.
- Cuando y , entonces (Propiedad transitiva).
- Si y , entonces .
- y , implica . Divisor de la combinación lineal
- y , implica . Divisor de la combinación lineal de potencias
- Si y , entonces
- De y , se deduce .Divisores conjugados.
- Para , si y sólo si
- Si y , entonces .
- Cuando y cumple que y , entonces .
- y para todo entero ya que y .
- abcd es divisible por n-1 si, sólo si a+b+c+d es múltiplo de (n-1), siempre que abcd esté escrito en la base n, (n≥ 3 ) .
- Si mcd(a,b) = 1 no cabe ak = bh para cualesquiera h, k números enteros positivos; potencias de coprimos no son iguales en ningún caso.
- En cualquier sistema de numeración para chequear si N es múltiplo de h, divisor de la base, basta analizar la última cifra de N. Así en la numeración decimal, para saber si N es múltiplo de 5, basta ver si la última cifra es 5 o cero. En la base doce para saber si N es divisible por 6, basta ver si termina en 6 o cero. En el sistema hexadecimal, para chequear si N es múltiplo de 4 basta ver que termina en uno de estos dígitos: 0, 4, 8, C.
Criterios de divisibilidad
Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar la división.
Número | Criterio | Ejemplo |
---|---|---|
2 | El número termina en 0 o en una cifra par (2, 4, 6, 8). | 378: porque la última cifra (8) es par. |
3 | La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. | 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3. |
4 | El número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o cuando termina en doble cero. O bien, si el resultado de sumar el doble del penúltimo dígito y el último da un número divisible entre 4. | 7324: porque 24 es múltiplo de 4.
8200: porque termina en 00. 5232: porque 3*2+2=8 y 8 es múltiplo de 4. |
5 | La última cifra es 0 o 5. | 485: porque termina en 5. |
6 | El número es divisible entre 2 y entre 3 a la vez. | 18: es múltiplo común 2 y de 3. |
7 | Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7. | 34349: separamos el 9,y lo duplicamos (18), entonces 3434-18=3416. Repetimos el proceso separando el 6 (341'6) y duplicándolo (12), entonces 341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es múltiplo de 7. |
8 | Un número es divisible por 8 si el número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8 o termina en tres ceros. | 27896: porque 896 es múltiplo de 8. De otro modo considero las tres últimas cifras divido entre 2, veo si el cociente es múltiplo de 4, viendo las dos últimas; la mitad de 896 es 448, como termina en 48, múltiplo de 4. |
9 | Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. | 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9. |
10 | Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0. | 470: termina en cifra 0. |
11 | Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. Si el resultado es cero (0 o un múltiplo de 11, el número es divisible por este.
Si el número tiene sólo dos cifras y estas son iguales será múltiplo de 11. |
42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 42702 es múltiplo de 11
66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Múltiplo de 11 |
12 | Un número es divisible por 12 cuando al hacer la división, siendo el cociente 3 y 4, sus restos dan como resultado 0. | 420: es múltiplo de 3 ya que 4+2+0=6 y de 4 puesto que 20 también lo es. Por tanto es múltiplo de 12. |
13 | Un número es divisible entre 13 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 13 | 3822: separamos el último dos (382'2) y lo multiplicamos por 9, 2*9=18, entonces 382-18=364. Repetimos el proceso separando el 4 (36'4) y multiplicándolo por 9, 4*9=36, entonces 36-36=0; por lo tanto, 3822 es divisible entre 13 |
14 | Un número es divisible entre 14 cuando es par y divisible entre 7 | 546: separamos el último seis (54'6) y lo doblamos, 6*2=12, entonces 54-12=42. 42 es múltiplo de 7 y 546 es par; por lo tanto, 546 es divisible entre 14 |
15 | Un número es divisible entre 15 cuando es divisible entre 3 y 5 | 225: termina en 5 y la suma de sus cifras es múltiplo de 3; por lo tanto, 225 es divisible entre 15 |
17 | Un número es divisible entre 17 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 17 | 2142: porque 214'2, 2*5=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 4*5=20, entonces 20-20=0; por lo tanto, 2142 es divisible entre 17. |
18 | Un número es divisible por 18 si es par y divisible por 9 (Si es par y además la suma de sus cifras es múltiplo de 9) | 9702: Es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18 que también es divisible entre 9. Y efectivamente, si hacemos la división entre 18, obtendremos que el resto es 0 y el cociente 539. |
19 | Un número es divisible por 19 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 2 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 19. | 3401: separamos el 1,lo doblamos (2) y sumamos 340+2= 342, ahora separamos el 2, lo doblamos (4) y sumamos 34+4=38 que es múltiplo de 19, luego 3401 también lo es. |
20 | Un número es divisible entre 20 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 20. Cualquier número par que tenga uno o más ceros a la derecha, es múltiplo de 20. | 57860: Sus 2 últimas cifras son 60 (Que es divisible entre 20), por lo tanto 57860 es divisible entre 20. |
25 | Un número es divisible entre 25 si sus dos últimas cifras son 00, o en múltiplo de 25 (25,50,75,...) | 650: Es múltiplo de 25 por lo cual es divisible. 400 también será divisible entre 25. |
27 | Un número es divisible entre 27, si al dividirlo entre 3 da un cociente exacto que es múltiplo de 9. | : 11745. Entre 3, cociente =3915; cuyas cifras suman 18, luego 11745 en divisible por 27. |
29 | Un número es divisible por 29 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 29. | 2262: separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos, 226+6= 232, ahora separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos 23+6=29 que es múltiplo de 29, luego 2262 también lo es. |
31 | Un número es divisible por 31 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y restar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 31. | 8618: separamos el 8, lo triplicamos (24) y restamos 861-24=837, ahora separamos el 7, lo triplicamos (21) y restamos, 83-21=62 que es múltiplo de 31, luego 8618 también lo es. |
50 | Un número es múltiplo de 50 cuando sus dos últimas cifras son 00 o 50 | |
100 | Un número será divisible por 100 si dicho número termina en 00. | 1000: Este número será divisible por cien ya que sus dos últimas cifras son 00, independientemente de las demás. |
125 | Un número será divisible por 125 si sus tres últimas cifras son 000 o múltiplo de 125. | 3000: Sería divisible por 125 ya que sus tres últimas cifras son 000.
4250: Este número también sería divisible por 125 ya que sus tres últimas cifras son múltiplo de 125. |
Nota 1: Existen muchas versiones de los criterios de divisibilidad. Así por ejemplo, para el 13 resulta equivalente el criterio: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 4 y sumarla a las cifras restantes la suma es igual a 0 o es un múltiplo de 13.
Nota 2: Resulta curioso que el criterio de divisibilidad por 7 sirva también como criterio de divisibilidad por 3, aunque evidentemente el criterio tradicional resulta más sencillo y este no se utiliza: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 3.
Nota 3: Aunque existen criterios similares para cualquier número primo, con frecuencia resulta más sencillo dividir que aplicar un criterio complicado (como el del 13). Sin embargo existe un criterio general que funciona siempre y que en muchos casos es suficientemente práctico: restar el número primo (o múltiplos de este) a las cifras de la izquierda sucesivamente hasta obtener cero o ese número primo. Así el ejemplo del 13 se podría comprobar con el proceso siguiente (usamos el 39 =3*13 para abreviar pasos): 3822 (restamos 13 dos veces a la izquierda) → 2522 → 1222 (restamos 39 tres veces de las tres cifras de la izquierda) → 832 → 442 → 52 y al restar de nuevo 39 obtenemos 52-39 =13
Nota 4: El método no tiene que ceñirse sólo al proceso de quitar las unidades. Pueden quitarse unidades y decenas. Así por ejemplo: 201 es múltiplo de 67. Un criterio para el 67 sería: quitamos el número formado por las decenas y unidades y se lo restamos 2 veces a las cifras que quedan, si el resultado es múltiplo de 67, el número anterior también lo será. Ejemplo: 66129, hacemos 661-2·29=603, Ahora 6 -2·3=0, luego 66129 es múltiplo de 67.
Una prueba de esto es la siguiente: (N-d)/100-2d = (N-d-200d)/100 = (N - 201d)/100= k. Si k es múltiplo de 67, N también lo será puesto que N = 100k+201d.
Nota 5: Para saber si un número de 3 cifras es múltiplo de 8. Hay que tener en cuenta lo siguiente: Si la cifra de las centenas es par y las otras 2 es un múltiplo de 8 (288→ 2 es cifra par, y 88 múltiplo de 8) o si la cifra de las centenas es impar y las dos últimas son el resultado de la diferencia o suma de un múltiplo de 8 con 4 (168→ 1 es cifra impar y 68+4=72; 72 es múltiplo de 8.
Nota 6: Todo número de tres cifras, en el cual las tres cifras son iguales, es múltiplo de 3 y de 37; de hecho es la multiplicación de 37 por la suma de sus cifras. Ejemplo: 333 es múltiplo de 37, porque 333=37*9 (3+3+3=9).
Observación
Todos los criterios señalados funcionan si el número está escrito en el sistema de numeración decimal. En otra base no siempre ocurre así. Pues 1027, escrito en base 7, termina en cifra par, pero no es divisible por 2. En este caso se suman las cifras 1+2=3; 3=1 (Mód 2), luego 1027 es impar (en decimal es 72+2=51).
Otros contextos
La divisibilidad es posible tratar dentro de la propiedades aritméticas de los
Referencias
- G. M. Bruño: Aritmética razonada
- Todo número entero tiene como divisores: ±n, ±1
- N. N. Vorobiov. Criterios de divisibilidad
- Adaptación de Aritmética elemental de Renzo Gentile
- Colectivo de autores Aritmética Lumbreras Editorial Lima/ 2017
- Goñi. Aritmética. Ediciones Ingeniería, Lima/ 1995
- Pettofrezzo- Byrkit. Elements of Number Theory. Prentice Hall Internacional Inc (1970)
- Hefez: Álgebra I, ediciones Imca, Lima
- Niven Zuckerman: Introducción a la teoría de números
- Fraleigh: Álgebra abstracta