…esto no es un subtítulo…
2015-08-16
La mecánica de los medios continuos se ocupa del estudio del comportamiento macroscópico de los sólidos y los fluidos no como sistemas de partículas sueltas, sino como medios infinitamente divisibles. Se trata de una disciplina que, además de poder ser interesante por sus propios méritos, es la base de buena parte de nuestro actual desarrollo tecnológico. Uno de los conceptos más importantes de la mecánica de los medios continuos es el del tensor de tensiones o esfuerzos, que es una descripción matemática del estado de fuerzas por unidad de superficie en el seno de un medio continuo. En el último artículo vimos que el estado tensional en un punto queda completamente caracterizado mediante una aplicación lineal sobre la dirección de medida. Hoy veremos que, como consecuencia de ello, las tensiones quedan descritas mediante un tensor de orden 2.
En vez de llamar a los ejes y a las componentes x, y y z como en el artículo anterior, hoy vamos a usar números: están los ejes 1, 2 y 3, de manera que el vector normal n que indica la dirección de medida tiene componentes n1, n2 y n3. Algo análogo puede decirse del vector tensión. En cuanto a las componentes de la aplicación lineal que representa las tensiones, tenemos σ11, σ12, …, σ65 y σ66. La componente j-ésima del vector tensión medido en la dirección n es
tj = ∑i ni σij.
Ahora supongamos que queremos pasar a un sistema de ejes rotado según la ley de transformación siguiente:
n'i = ∑j cij nj.
Es decir, se aplica una matriz de rotación de componentes {cij}. Los índices de las magnitudes rotadas se refieren a las componentes en los ejes rotados, no en los ejes originales. La transformación para el vector tensión es igual:
t'i = ∑j cij tj.
Asumimos que en el nuevo sistema de referencia hay unas componentes rotadas de la matriz que representa las tensiones:
t'j = ∑i n'i σ'ij.
Ahora bien, el vector tensión en ejes rotados puede expresarse en función del vector tensión en los ejes originales:
∑k cjk tk = ∑i n'i σ'ij.
De igual manera, el vector normal en ejes rotados puede expresarse en función del vector normal en los ejes originales:
∑k cjk tk = ∑i ∑l cil nl σ'ij.
Si multiplicamos a ambos lados de la igualdad por la inversa de la matriz de cambio de base, queda lo siguiente:
tk = ∑i ∑k∑l c−1kj cil nl σ'ij.
Ahora bien, esta ecuación es la relación entre normal y vector tensión en los ejes iniciales si definimos la siguiente rotación:
σij = ∑k ∑l c−1jk cli σ'lk.
Un objeto geométrico cuyas componentes se transforman de unos ejes a otros mediante este tipo de ley es un tensor. Las tensiones están completamente determinadas mediante un campo tensorial de orden 2.
Hasta ahora, hemos trabajado en ejes cartesianos, así que no hay diferencia entre componentes covariantes y componentes contravariantes. Con la notación de índices mudos de Einstein, tenemos las siguientes relaciones entre las componentes del vector tensión y las del vector normal tanto covariantes como contravariantes:
ti = nj σji;
ti = nj σji.
Categorías: Física